Os números harmônicos
são definidos por
para
. Mostre por indução que,
Passo 1
O enunciado define os números harmônicos
e pede para provar, por indução em
, que
O conteúdo é prova por indução envolvendo somatórios e estimativa de séries harmônicas.
Passo 2
Verificamos a base
.
que coincide com
. Logo, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Formulamos a hipótese de indução: suponha que, para algum
, valha
Passo 4
Precisamos mostrar que então
Escrevemos
Passo 5
Note que o somatório
contém exatamente termos, e para cada
nesse intervalo temos
contém exatamente
Portanto,
Passo 6
Usando a hipótese de indução e o resultado anterior, obtemos
Isso conclui o passo de indução.
Resposta
Portanto, por indução, segue que para todo