Os números harmônicos H_{j} são definidos por
H_{j}=\sum_{k=1}^{j} \frac{1}{k},
para j \geqslant 1. Mostre por indução que,
H_{2^{n}} \geqslant 1+\frac{n}{2} .

Passo 1

O enunciado define os números harmônicos
H_{j}=\sum_{k=1}^{j}\frac{1}{k}
e pede para provar, por indução em n, que
H_{2^{n}}\ge 1+\frac{n}{2}.
O conteúdo é prova por indução envolvendo somatórios e estimativa de séries harmônicas.

Passo 2

Verificamos a base n=1.
H_{2^{1}}=H_{2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}=1+\frac12=1+\frac{1}{2}\,,
que coincide com 1+\tfrac{1}{2}. Logo, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Formulamos a hipótese de indução: suponha que, para algum n\ge1, valha
H_{2^{n}}\ge 1+\frac{n}{2}.

Passo 4

Precisamos mostrar que então
H_{2^{n+1}}\ge 1+\frac{n+1}{2}.
Escrevemos
H_{2^{n+1}} =H_{2^{n}}+\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}.

Passo 5

Note que o somatório \displaystyle\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k}
contém exatamente 2^{n+1}-(2^{n}+1)+1=2^{n} termos, e para cada k nesse intervalo temos
\frac{1}{k}\ge\frac{1}{2^{n+1}}.
Portanto,
\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \ge 2^{n}\cdot\frac{1}{2^{n+1}} =\frac12.

Passo 6

Usando a hipótese de indução e o resultado anterior, obtemos
H_{2^{n+1}} \;=\; H_{2^{n}} +\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1}}\frac{1}{k} \;\ge\; \Bigl(1+\frac{n}{2}\Bigr) +\frac12 \;=\; 1+\frac{n+1}{2}.
Isso conclui o passo de indução.

Resposta

Portanto, por indução, segue que para todo n\ge1
H_{2^{n}}\ge 1+\frac{n}{2}.

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