12 Quatro cargas elétricas pontuais iguais a
ocupam os vértices de um quadrado de lado
no plano
. A origem do sistema de coordenadas é o centro geométrico do quadrado. Determine o potencial elétrico e o campo elétrico (a partir do potencial) sobre o eixo
.
Passo 1
Beleza, temos um quadrado no plano
com quatro cargas pontuais iguais a
nos vértices, de lado
. A origem está no centro desse quadrado. A tarefa é achar o potencial elétrico
e, a partir dele, o campo elétrico
sobre o eixo
.
Conteúdo que vamos usar:
Conteúdo que vamos usar:
- Potencial de uma carga pontual:
2) Princípio da superposição (soma dos potenciais).
3) Relação entre campo e potencial:
Não se assuste: a gente vai passo a passo.
Passo 2
Vamos achar primeiro a distância de um vértice ao ponto
no eixo
. Cada vértice fica em
, então
O potencial de uma carga em distância
e como são 4 cargas idênticas, por superposição:
Passo 3
Agora o campo na direção
é
Vamos diferenciar
Temos
Então
$$E_z=-\frac{4q}{4\pi\epsilon_0},\Bigl(-\frac{z}{(\tfrac{L2}{2}+z2)^{3/2}}\Bigr)
=\frac{4q,z}{4\pi\epsilon_0,( \tfrac{L2}{2}+z2 )^{3/2}},. $$
Passo 4
Por simetria, as componentes em
e
se cancelam (duas cargas puxam pra um lado, as outras duas compensam). Só sobra essa parte em
.
Resposta
Potencial no eixo
:
Campo elétrico no eixo
$$\boxed{\vec E(z)=E_z,\hat z
=\frac{4q,z}{4\pi\epsilon_0,\bigl(\tfrac{L2}{2}+z2\bigr)^{3/2}};\hat z,.}$$