12 Quatro cargas elétricas pontuais iguais a q ocupam os vértices de um quadrado de lado L no plano x y. A origem do sistema de coordenadas é o centro geométrico do quadrado. Determine o potencial elétrico e o campo elétrico (a partir do potencial) sobre o eixo z.

Passo 1

Beleza, temos um quadrado no plano xy com quatro cargas pontuais iguais a q nos vértices, de lado L. A origem está no centro desse quadrado. A tarefa é achar o potencial elétrico V e, a partir dele, o campo elétrico vec E sobre o eixo z.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Potencial de uma carga pontual: Vrm pontual=14piepsilon0,qr
    2) Princípio da superposição (soma dos potenciais).
    3) Relação entre campo e potencial:
    vec E=-nabla VRightarrow Ez=-dVdz
Não se assuste: a gente vai passo a passo.

Passo 2

Vamos achar primeiro a distância de um vértice ao ponto (0,0,z) no eixo z. Cada vértice fica em (pm L/2,pm L/2,0), então
r=raizl(tfracL2r)^2+l(tfracL2r)^2+z^2=raizL^22+z^2,
O potencial de uma carga em distância r é
V1=14piepsilon0,qr
e como são 4 cargas idênticas, por superposição:
V(z)=4,V1=4q4piepsilon0,1raizL^22+z^2,

Passo 3

Agora o campo na direção z é
Ez=-dVdz,
Vamos diferenciar
V(z)=4q4piepsilon0,l(tfracL^22+z^2r)^-1/2,
Temos
ddzl(tfracL^22+z^2r)^-1/2 =-tfrac12l(tfracL^22+z^2r)^-3/2cdot2z =-zl(tfracL^22+z^2r)^3/2,
Então
$$E_z=-\frac{4q}{4\pi\epsilon_0},\Bigl(-\frac{z}{(\tfrac{L2}{2}+z2)^{3/2}}\Bigr)
=\frac{4q,z}{4\pi\epsilon_0,( \tfrac{L2}{2}+z2 )^{3/2}},. $$

Passo 4

Por simetria, as componentes em x e y se cancelam (duas cargas puxam pra um lado, as outras duas compensam). Só sobra essa parte em hat z.

Resposta

Potencial no eixo z:
boxedV(z)=4q4piepsilon0,1raiztfracL^22+z^2,
Campo elétrico no eixo z:
$$\boxed{\vec E(z)=E_z,\hat z
=\frac{4q,z}{4\pi\epsilon_0,\bigl(\tfrac{L2}{2}+z2\bigr)^{3/2}};\hat z,.}$$

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