Um balão de ar quente e sua carga (sem incluir o ar interno) tem massa de 620 kg. O ar externo tem uma temperatura de 11 °C e pressão de 101 kPa. O volume do balão quando inflado é de 1290 m³. Considere que a massa molar do ar é de 29.0 g / mo<= e R=8.315 J / mol cdot K.
Qual a temperatura mínima do ar dentro do balão, em kelvin, para que o balão decole?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um balão de ar quente. O enunciado nos dá informações sobre a massa do balão e carga, a temperatura e pressão do ar externo, o volume do balão, além da massa molar do ar e a constante dos gases ideais. Usaremos conceitos de física de flutuabilidade e a lei dos gases ideais para descobrir a temperatura mínima que o ar dentro do balão precisa ter para ele decolar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que faz um balão de ar quente decolar. Basicamente, o balão decola quando a força de empuxo (a força que empurra o balão para cima) é maior que o peso total do balão e sua carga. A força de empuxo depende da diferença de densidade entre o ar externo e o ar dentro do balão.

Passo 3

Para calcular a força de empuxo, usamos a fórmula:
Empuxo = rhoexterno times V times g
onde:
  • rhoexterno é a densidade do ar externo,
  • V é o volume do balão,
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 , m/s²²).
Já o peso total que precisa ser superado para o balão decolar é:
Peso = m times g
onde m = 620 , kg.

Passo 4

Para o balão decolar, a força de empuxo deve ser igual ao peso:
rhoexterno times V times g = m times g
Podemos simplificar cancelando g dos dois lados:
rhoexterno times V = m
Isso nos dá uma relação para encontrar a densidade do ar externo.

Passo 5

Vamos calcular a densidade do ar externo usando a lei dos gases ideais:
rho = P times MR times T
onde:
  • P = 101 times 10^3 , Pa (convertendo 101 kPa para Pa),
  • M = 0,029 , kg/mol (convertendo 29 g/mol para kg/mol),
  • R = 8,315 , J/(mol·K),
  • T = 11°C = 284 , K (convertendo para Kelvin).
Substituindo os valores:
rhoexterno = 101000 times 0,0298,315 times 284 approx 1,205 , kg/m³ ³

Passo 6

Agora, usando a relação rhoexterno times V = m, temos:
1,205 times 1290 approx 620 , kg
Isso confirma que, com a densidade externa calculada, o empuxo iguala o peso do balão.

Passo 7

Para o balão decolar, o ar interno precisa ser menos denso que o externo. Vamos chamar a temperatura mínima interna de Tmin. A densidade interna será:
rhointerno = P times MR times Tmin
A condição para decolar é:
rhoexterno - rhointerno = mV
Substituindo rhointerno:
1,205 - 101000 times 0,0298,315 times Tmin = 6201290

Passo 8

Resolvendo para Tmin:
1,205 - 29308,315 times Tmin = 0,4806
29308,315 times Tmin = 1,205 - 0,4806 = 0,7244
Tmin = 29308,315 times 0,7244 approx 29306,018 approx 487 , K

Resposta

A temperatura mínima do ar dentro do balão para que ele decole é aproximadamente 487 K.

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