16 Use a equação
V(r)=14 pi epsilon integral rho(r^prime)r d tau^prime
para calcular o potencial elétrico dentro de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q.

Passo 1

Então, o problema diz: “Calcular o potencial elétrico DENTRO de uma esfera sólida de raio V(vec r)=14pivarepsilon0integralrho(vec r,')|vec r-vec r,'|,dtau', , densidade de carga uniforme e carga total , usando
Isso é Eletrostática básica, a ideia é usar coordenadas esféricas pra integrar sobre todo o volume da esfera. Vamos precisar de:
  • A densidade volumétrica .
  • Volume elementar .
  • A fórmula pra integrar em a expressão .

Passo 2

Escrevendo direto a integral:
V(r)=14pivarepsilon0integralesferarho|vec r-vec r,'|,dtau' =rho4pivarepsilon0 integral0^R!!r'^2,dr', integral0^pi!!sintheta',dtheta', integral0^2pi!!dphi';1raizr^2+r'^2-2rr'costheta',
A integral em dá simplesmente um fator , porque o integrando não depende de .

Passo 3

Foco agora na parte de I(r,r')=integral0^pisintheta'raizr^2+r'^2-2rr'costheta',dtheta', :
I(r,r') =1rr'l[(r+r')-lvert r-r'rvertr],
Existe um resultado padrão (expansão em polinômios de Legendre ou tabela):
V(r)=rho4pivarepsilon0,2pi integral0^Rr'^2,dr';1rr'l[(r+r')-lvert r-r'rvertr] =rho2varepsilon0,r integral0^Rr',l[(r+r')-lvert r-r'rvertr],dr',
Então a integral total fica

Passo 4

Para tratar o módulo , dividimos a integral em duas regiões:
  1. , onde .
  2. , onde .

Passo 5

Região 1 ( (r+r')-lvert r-r'rvert=(r+r')-(r-r')=2r', ):
integral0^rr',(2r'),dr'=2integral0^rr'^2,dr'=2r^33,
Então

Passo 6

Região 2 ( (r+r')-lvert r-r'rvert=(r+r')-(r'-r)=2r, ):
integralr^Rr',(2r),dr'=2rintegralr^Rr',dr' =2rcdotR^2-r^22=r,(R^2-r^2),
Então

Passo 7

Somando as duas partes dentro da integral:
integral0^Rr'l[(r+r')-lvert r-r'rvertr]dr' =2r^33+r,(R^2-r^2) =r,R^2-r^33,
Logo
V(r) =rho2varepsilon0,rl(r,R^2-tfracr^33r) =rho2varepsilon0l(R^2-tfracr^23r),
Agora substitui :

Resposta

boxed% V(r)=rho2varepsilon0l(R^2-tfracr^23r) =14pivarepsilon0,q2Rl(3-r^2R^2r)para r<= R,

Exercícios relacionados