16 Use a equação
para calcular o potencial elétrico dentro de uma esfera sólida de raio
com densidade de carga uniforme e carga total
.
Passo 1
Então, o problema diz: “Calcular o potencial elétrico DENTRO de uma esfera sólida de raio
, densidade de carga uniforme e carga total
, usando
Isso é Eletrostática básica, a ideia é usar coordenadas esféricas pra integrar sobre todo o volume da esfera. Vamos precisar de:
- A densidade volumétrica
. - Volume elementar
. - A fórmula pra integrar em
a expressão .
Passo 2
Escrevendo direto a integral:
A integral em
dá simplesmente um fator
, porque o integrando não depende de
.
Passo 3
Foco agora na parte de
:
Existe um resultado padrão (expansão em polinômios de Legendre ou tabela):
Então a integral total fica
Passo 4
Para tratar o módulo
, dividimos a integral em duas regiões:
-
, onde . -
, onde .
Passo 5
Região 1 (
):
Então
Passo 6
Região 2 (
):
Então
Passo 7
Somando as duas partes dentro da integral:
Logo
Agora substitui
: