12 ^ a Questão: Se lim x +infty[a x+1a x-1]^x=9, determinar a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de a tal que
limxto+inftyl[a x+1a x-1r]^x=9
O conteúdo envolvido é limite de potência com xtoinfty, e vamos usar a ideia de passar para o logaritmo e a forma padrão
limntoinfty(1+un)^vn=e^lim(un vn),
quando unto0 e vntoinfty.

Passo 2

Definimos
L=limxto+inftyl[a x+1a x-1r]^x
e passamos ao logaritmo para facilitar:
ln L=limxto+inftyx;ln!l(a x+1a x-1r)

Passo 3

Reescrevemos o argumento do logaritmo como
a x+1a x-1 =1+2a x-1,
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ln!l(a x+1a x-1r) =ln!l(1+2a x-1r)

Passo 4

Para xtoinfty temos 2a x-1to0, então usamos a expansão ln(1+u)sim u quando uto0. Assim
ln!l(1+2a x-1r) sim2a x-1,
e
x;ln!l(a x+1a x-1r) sim x;2a x =2a
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ln L=2a Longrightarrow L=e^2/a

Passo 5

Como L deve valer 9, igualamos
e^2/a=9 Longrightarrow 2a=ln9 Longrightarrow a=2ln9

Resposta

a=2ln9

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