Exercício 3.10. Considere válida, em certa situação, a Lei dos Gases Ideais
sendo a pressão, volume e temperatura do sistema, respectivamente; tomaremos a constante (os valores numéricos aqui são artificiais).
Qual a taxa de variação da pressão se apenas o volume variar? E se apenas a temperatura variar?
Suponha que . Variando-se um pouco esses valores na direção do vetor , a pressão aumenta ou diminui? E qual o valor dessa taxa de variação? (Resposta: aumenta com taxa )
Em , em qual direção teremos maior diminuição de pressão? Qual o valor dessa taxa? (Resposta: )
Em qual direção, no ponto acima, praticamente não há variação de pressão? (Resposta: , sendo )
Se a temperatura e o volume estiverem variando com o tempo de acordo com as leis
qual a velocidade de variação da pressão no instante inicial ? A pressão está crescendo nesse instante? (Resposta: em a taxa vale 8, logo crescendo)
Passo 1
O enunciado diz que vale a Lei dos Gases Ideais
com , e pede: (1) as taxas de variação de quando só ou só variam (derivadas parciais); (2) a derivada direcional de em na direção ; (3) a direção de maior diminuição de e a taxa; (4) a direção em que não há variação de ; (5) a velocidade de variação de quando e variam no tempo segundo , em . Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e a regra da cadeia.
Passo 2
Escrevemos
As derivadas parciais são
Logo, se só varia, a taxa é ; se só varia, é .
Passo 3
O gradiente em é
A direção dada é e o vetor unitário correspondente é
A derivada direcional é
portanto aumenta com taxa .
Passo 4
A maior diminuição de ocorre na direção de . Como , tomamos
e o vetor unitário é
A taxa máxima de diminuição é , e
logo a taxa é .
Passo 5
Direções em que não há variação são ortogonais a . Se então . Um vetor unitário é