Exercício 3.10. Considere válida, em certa situação, a Lei dos Gases Ideais
P V=k T
sendo P, V, T a pressão, volume e temperatura do sistema, respectivamente; tomaremos a constante k=10 (os valores numéricos aqui são artificiais).
  1. Qual a taxa de variação da pressão se apenas o volume variar? E se apenas a temperatura variar?
  2. Suponha que (T0, V0)=(10,20). Variando-se um pouco esses valores na direção do vetor v=i-4 j, a pressão aumenta ou diminui? E qual o valor dessa taxa de variação? (Resposta: aumenta com taxa 3 /(2 raiz17) )
  3. Em (T0, V0), em qual direção teremos maior diminuição de pressão? Qual o valor dessa taxa? (Resposta: (-2 i+j) / raiz5 ;-raiz5 / 4 )
  4. Em qual direção, no ponto acima, praticamente não há variação de pressão? (Resposta: pm v, sendo v=(i+2 j) / raiz5 )
  5. Se a temperatura e o volume estiverem variando com o tempo t >= 0 de acordo com as leis
T(t)=10+20 t1+t, V(t)=20+8 sen t
qual a velocidade de variação da pressão no instante inicial t0=0 ? A pressão está crescendo nesse instante? (Resposta: em t0=0 a taxa vale 8, logo crescendo)

Passo 1

O enunciado diz que vale a Lei dos Gases Ideais
P,V = k,T
com k=10, e pede: (1) as taxas de variação de P quando só V ou só T variam (derivadas parciais); (2) a derivada direcional de P em (T0,V0)=(10,20) na direção vec v=vec i-4vec j; (3) a direção de maior diminuição de P e a taxa; (4) a direção em que não há variação de P; (5) a velocidade de variação de P quando T e V variam no tempo segundo T(t)=10+tfrac20t1+t, V(t)=20+8sin t em t0=0. Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente, derivada direcional e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
P(T,V)=k,TV
As derivadas parciais são
partial Ppartial T =kV, partial Ppartial V =-,k,TV^2
Logo, se só T varia, a taxa é partial P/partial T=k/V; se só V varia, é partial P/partial V=-kT/V^2.

Passo 3

O gradiente em (10,20) é
nabla P =l(tfrac1020,,-tfrac10cdot1020^2r) =l(tfrac12,,-tfrac14r)
A direção dada é vec v=(1,-4) e o vetor unitário correspondente é
vec u =1raiz1^2+(-4)^2,(1,-4) =1raiz17,(1,-4)
A derivada direcional é
Dvec uP =nabla Pcdotvec u =12cdot1raiz17 +(-tfrac14)cdot-4raiz17 =32raiz17>0,
portanto P aumenta com taxa tfrac32raiz17.

Passo 4

A maior diminuição de P ocorre na direção de -nabla P. Como nabla P=(tfrac12,-tfrac14), tomamos
-,nabla P =l(-tfrac12,tfrac14r) sim(-2,1),
e o vetor unitário é
-2,vec i+vec jraiz5
A taxa máxima de diminuição é -|nabla P|, e
|nabla P| =raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac14r)^2 =raiz54,
logo a taxa é -tfracraiz54.

Passo 5

Direções em que não há variação são ortogonais a nabla P. Se (a,b)cdot(tfrac12,-tfrac14)=0 então a=tfrac b2. Um vetor unitário é
pmvec i+2vec jraiz5

Passo 6

Pelo efeito do tempo temos
dPdt =PT,dTdt+PV,dVdt
Em t=0: T(0)=10, V(0)=20. Calculamos
dTdt =ddtl(10+20t1+tr) =20(1+t)^2 impliesdTdt|0=20,
dVdt =8cos t impliesdVdt|0=8
E como PT=tfrac12, PV=-tfrac14 naquele ponto, vem
dPdt|0 =12cdot20 +(-tfrac14)cdot8 =10-2=8>0,
logo P cresce em t0=0.

Resposta

  1. partial Ppartial T=kV, partial Ppartial V=-,kTV^2
  2. P aumenta com taxa 32raiz17
  3. Direção -2vec i+vec jraiz5, taxa -raiz54
  4. Direções pmvec i+2vec jraiz5.
  5. Em t0=0, dP/dt=8, logo P está crescendo.

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