(5 pontos) Dada a matriz A, calcule sua matriz inversa A^-1, se existir.
A=[llll 2 & 1 & 3 & 4 1 & 2 & 1 & 3 3 & 1 & 2 & 1 4 & 3 & 1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede a inversa de uma matriz AinR^4times4.
Conteúdo: inversão de matrizes usando eliminação de Gauss–Jordan. Vamos montar o sistema aumentado l[Amid Ir] e, por operações elementares, chegar em l[Imid A^-1r].

Passo 2

Primeiro pivô é a11=2. Dividimos R1 por 2 e eliminamos a coluna 1 em R2,R3,R4. O sistema fica
[cccc|cccc 1 & 0.5 & 1.5 & 2 & 0.5 & 0 & 0 & 0 0 & 1.5 & -0.5 & 1 & -0.5 & 1 & 0 & 0 0 & -0.5 & -2.5 & -5 & -1.5 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -5 & -6 & -2 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Segundo pivô é o elemento (2,2)=1,5. Dividimos R2 por 1,5 e eliminamos a coluna 2 em R1,R3,R4. Obtemos
[cccc|cccc 1 & 0 & tfrac53 & tfrac53 & tfrac23 & -tfrac13 & 0 & 0 0 & 1 & -tfrac13 & tfrac23 & -tfrac13 & tfrac23 & 0 & 0 0 & 0 & -tfrac83 & -tfrac143 & -tfrac53 & tfrac13 & 1 & 0 0 & 0 & -tfrac143 & -tfrac203 & -tfrac53 & -tfrac23 & 0 & 1 ]

Passo 4

Terceiro pivô é (3,3)=-tfrac83. Dividimos R3 por -tfrac83 e eliminamos a coluna 3 em R1,R2,R4. Fica
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -tfrac54 & -tfrac38 & -tfrac18 & tfrac58 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac54 & -tfrac18 & tfrac58 & -tfrac18 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac74 & tfrac58 & -tfrac18 & -tfrac38 & 0 0 & 0 & 0 & tfrac32 & tfrac54 & -tfrac54 & -tfrac74 & 1 ]

Passo 5

Quarto pivô é (4,4)=tfrac32. Dividimos R4 por tfrac32 e eliminamos a coluna 4 em R1,R2,R3. O resultado final é
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac23 & -tfrac76 & -tfrac56 & tfrac56 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac76 & tfrac53 & tfrac43 & -tfrac56 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac56 & tfrac43 & tfrac53 & -tfrac76 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac56 & -tfrac56 & -tfrac76 & tfrac23 ]
Da parte direita lemos A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac23 & -tfrac76 & -tfrac56 & tfrac56[6pt] -tfrac76 & tfrac53 & tfrac43 & -tfrac56[6pt] -tfrac56 & tfrac43 & tfrac53 & -tfrac76[6pt] tfrac56 & -tfrac56 & -tfrac76 & tfrac23 ]

Exercícios relacionados