Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada: y=ux ou x=vy
(x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x^2+y^2r),dx+l(x^2-x yr),dy=0
usando uma substituição apropriada do tipo y=ux ou x=vy.
O conteúdo aqui é o de equações homogêneas de grau zero, pois cada termo é de grau 2 em x,y. Vamos usar a substituição
y = u,x,
que é a mais direta para esse tipo de homogênea.

Passo 2

Fazendo y=u,x, temos
dy = u,dx + x,du
Substituímos na equação original cada ocorrência de y e dy:
x^2+y^2 = x^2(1+u^2), x^2-x y = x^2(1 - u)
Então
l(x^2(1+u^2)r),dx + l(x^2(1-u)r),(u,dx + x,du) =0

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em dx e du:
x^2(1+u^2),dx + x^2(1-u),u,dx + x^3(1-u),du =0
O coeficiente de dx fica
x^2l[(1+u^2)+u(1-u)r] = x^2(1+u),
de modo que a equação reduz-se a
x^2(1+u),dx + x^3(1-u),du = 0

Passo 4

Dividimos tudo por x^2 (supondo xneq0):
(1+u),dx + x(1-u),du = 0
Reescrevendo em forma separável:
dxx + 1-u1+u,du = 0

Passo 5

Integramos cada lado:
integral dxx + integral 1-u1+u,du = 0
Note que
1-u1+u = 1 - 2u1+u
e, portanto,
integral 1-u1+u,du = integral du -2integralu1+u,du = u -2l(u - ln|1+u|r) = -u +2ln|1+u|
Assim
ln|x| +l(-u +2ln|1+u|r) = C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Voltando a u=y/x, obtemos
ln|x| - yx +2lnl|1+yxr| = C
Reescrevendo os logaritmos:
-,ln|x| + 2ln|x+y| - yx = C,
ou ainda, exponenciando,
ln!l((x+y)^2xr) - yx = C Longrightarrow (x+y)^2x = K,e^y/x,
com K=e^C.

Resposta

A solução geral, de forma implícita, pode ser escrita como
(x+y)^2 = C,x,e^y/x,
onde C é constante arbitrária.

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