Resolva a equação diferencial usando uma substituição apropriada: ou
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição apropriada do tipo ou .
O conteúdo aqui é o de equações homogêneas de grau zero, pois cada termo é de grau 2 em . Vamos usar a substituição
que é a mais direta para esse tipo de homogênea.
Passo 2
Fazendo , temos
Substituímos na equação original cada ocorrência de e :
Então
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em e :
O coeficiente de fica
de modo que a equação reduz-se a
Passo 4
Dividimos tudo por (supondo ):
Reescrevendo em forma separável:
Passo 5
Integramos cada lado:
Note que
e, portanto,
Assim
onde é constante de integração.
Passo 6
Voltando a , obtemos
Reescrevendo os logaritmos:
-,ln|x| + 2ln|x+y| - yx = C,
ou ainda, exponenciando,
ln!l((x+y)^2xr) - yx = C Longrightarrow (x+y)^2x = K,e^y/x,
com K=e^C.
Resposta
A solução geral, de forma implícita, pode ser escrita como