12 Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre Re. Os vetores:
u=t^3-3 t^2+5 t+1 ; v=2 t^3-4 t^2+9 t+5 e w=t^3-t^2+8 t+2, são LI ou LD?
Resp: LI

Passo 1

O enunciado define V como o espaço dos polinômios de grau <=3 sobre Re e dá os vetores
u = t^3 - 3t^2 + 5t + 1, v = 2t^3 - 4t^2 + 9t + 5, w = t^3 - t^2 + 8t + 2
Pergunta se u,v,w são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso usamos a definição: são LI se a única solução de
alpha,u + beta,v + gamma,w = 0
é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escolhemos a base canônica 1,t,t^2,t^3 e escrevemos as coordenadas de cada vetor:
u long<=ftrightarrow 15-31, v long<=ftrightarrow 59-42, w long<=ftrightarrow 28-11

Passo 3

Escrevemos o sistema alpha u + beta v + gamma w = 0 em forma matricial:
1 & 5 & 2 5 & 9 & 8 -3 & -4 & -1 1 & 2 & 1 alphabetagamma = 0000
Isso gera o sistema de equações
alpha +5beta +2gamma =0, 5alpha +9beta +8gamma =0, -3alpha -4beta -gamma =0, alpha +2beta +gamma =0

Passo 4

Fazendo eliminação, subtraímos a quarta equação da primeira:
(alpha+5beta+2gamma)-(alpha+2beta+gamma);=;3beta+gamma=0 Longrightarrow gamma=-3beta
Substituindo em alpha+2beta+gamma=0
alpha +2beta -3beta=0;Longrightarrow;alpha=beta
Na segunda equação, usando alpha=beta e gamma=-3beta,
5beta+9beta+8(-3beta)=14beta-24beta=-10beta=0 ;Longrightarrow;beta=0
e daí alpha=0, gamma=0.

Passo 5

Como a única solução é alpha=beta=gamma=0, concluímos que u,v,w são linearmente independentes em V.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente independentes (LI).

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