12 Seja V espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 sobre
. Os vetores:
, são LI ou LD?
Resp: LI
Resp: LI
Passo 1
O enunciado define
como o espaço dos polinômios de grau
sobre
e dá os vetores
Pergunta se
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Para isso usamos a definição: são LI se a única solução de
é
.
Passo 2
Escolhemos a base canônica
e escrevemos as coordenadas de cada vetor:
Passo 3
Escrevemos o sistema
alpha u + beta v + gamma w = 0 em forma matricial:
Isso gera o sistema de equações
Passo 4
Fazendo eliminação, subtraímos a quarta equação da primeira:
Substituindo em
alpha+2beta+gamma=0 dá
Na segunda equação, usando
alpha=beta e
gamma=-3beta ,
e daí
alpha=0 ,
gamma=0 .
Passo 5
Como a única solução é
alpha=beta=gamma=0 , concluímos que
u,v,w são linearmente independentes em
V .
Resposta
Os vetores
u,v,w são linearmente independentes (LI).