Questāo 1. A reta r contém os pontos e e a reta s tem equação e . Determine:
a) A classificação de r em relação a s. (Paralelas, ortogonais, etc) (0,5 ponto)
b) Ângulo entre res. ( ponto)
c) Distância entre res. (1,25 ponto)
Passo 1
O enunciado dá duas retas em :
– A reta passa pelos pontos e .
– A reta é dada por
Pede-se a) a classificação de em relação a , b) o ângulo entre elas e c) a distância entre elas. Vamos usar vetores diretores, produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a distância entre retas paralelas.
Passo 2
Encontrar vetores diretores de cada reta e um ponto em .
– Para , como e pertencem a ,
– Para s, do parâmetro t temos
x=2-3t, y=3t, z=0,
logo vec vs =(-3,,3,,0).
Um ponto em s é, por exemplo, P0=(2,0,0) (para t=0).
Passo 3
Classificação de r em relação a s:
Verificamos se vec vr e vec vs são colineares.
vec vs = (-3,3,0) = -3,(1,-1,0) = -3,vec vr
Portanto são colineares. Como toda coordenada z em r vale -2 e em s vale 0, as retas não coincidem, logo são paralelas.
Passo 4
Ângulo entre r e s:
O ângulo theta entre as retas é o mesmo entre vec vr e vec vs, dado por
costheta = vec vrcdotvec vs|vec vr|;|vec vs|
Como vec vs é múltiplo de vec vr, temos vec vrcdotvec vs=pm|vec vr||vec vs|, o que dá costheta=pm1. Tomamos o ângulo agudo, logo
theta =0
Passo 5
Distância entre duas retas paralelas em R^3:
Seja A em r e P0 em s. A fórmula é
d = |,(A-P0)times vec vs||vec vs|
Aqui
A-P0 = (-1,2,-2) - (2,0,0) = (-3,2,-2),
(A-P0)times vec vs = i&j&k -3&2&-2 -3&3&0 = (6,,6,,-3),