Questāo 1. A reta r contém os pontos A(-1,2,-2) e B(0,1,-2) e a reta s tem equação s: x-2-3=y3 e z=0. Determine:
a) A classificação de r em relação a s. (Paralelas, ortogonais, etc) (0,5 ponto)
b) Ângulo entre res. ( 0 , 7 5 ponto)
c) Distância entre res. (1,25 ponto)

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
– A reta r passa pelos pontos A(-1,2,-2) e B(0,1,-2).
– A reta s é dada por
x-2-3 ;=;y3=t, z=0
Pede-se a) a classificação de r em relação a s, b) o ângulo entre elas e c) a distância entre elas. Vamos usar vetores diretores, produto escalar para o ângulo e produto vetorial para a distância entre retas paralelas.

Passo 2

Encontrar vetores diretores de cada reta e um ponto em s.
– Para r, como A e B pertencem a r,
vec vr = AB = B - A = (0-(-1),,1-2,,-2-(-2)) = (1,,-1,,0)
– Para s, do parâmetro t temos
x=2-3t, y=3t, z=0,
logo
vec vs =(-3,,3,,0).
Um ponto em s é, por exemplo, P0=(2,0,0) (para t=0).

Passo 3

Classificação de r em relação a s:
Verificamos se vec vr e vec vs são colineares.
vec vs = (-3,3,0) = -3,(1,-1,0) = -3,vec vr
Portanto são colineares. Como toda coordenada z em r vale -2 e em s vale 0, as retas não coincidem, logo são paralelas.

Passo 4

Ângulo entre r e s:
O ângulo theta entre as retas é o mesmo entre vec vr e vec vs, dado por
costheta = vec vrcdotvec vs|vec vr|;|vec vs|
Como vec vs é múltiplo de vec vr, temos vec vrcdotvec vs=pm|vec vr||vec vs|, o que dá costheta=pm1. Tomamos o ângulo agudo, logo
theta =0

Passo 5

Distância entre duas retas paralelas em R^3:
Seja A em r e P0 em s. A fórmula é
d = |,(A-P0)times vec vs||vec vs|
Aqui
A-P0 = (-1,2,-2) - (2,0,0) = (-3,2,-2),
(A-P0)times vec vs = i&j&k -3&2&-2 -3&3&0 = (6,,6,,-3),
|(6,6,-3)| = raiz36+36+9 =9, |vec vs| = raiz(-3)^2+3^2+0^2 = 3raiz2
Logo
d = 93raiz2 = 3raiz2 = 3raiz22

Resposta

a) r é paralela a s.
b) Ângulo entre elas: 0.
c) Distância entre elas: 3raiz22.

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