13 Sejam
vetores LI. Suponha que u é combinação linear dos vetores acima, digamos
. Mostre que a representação de
acima é única.
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
que são linearmente independentes e que um vetor
pode ser escrito como combinação linear deles:
O objetivo é mostrar que esses coeficientes
são únicos. O conteúdo aqui é a definição de independência linear e uma prova por contradição simples.
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que exista outra forma de escrever
com coeficientes diferentes, digamos
em que algum
difere de
.
Passo 3
Subtraindo uma expressão da outra, obtemos
Por definição de independência linear, a única combinação que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Logo,
Passo 4
Da igualdade
segue
para cada índice
. Assim, não pode haver dois conjuntos de coeficientes distintos que representem o mesmo vetor
.
Resposta
A representação de
na base
é única, pois qualquer tentativa de ter dois vetores de coeficientes distintos leva, pela independência linear, à conclusão de que esses coeficientes devem ser iguais.