13 Sejam e1, e2, ldots , en vetores LI. Suponha que u é combinação linear dos vetores acima, digamos u=a1 e1+a2 e2+ldots +an en. Mostre que a representação de u acima é única.

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores e1,e2,dots,en que são linearmente independentes e que um vetor u pode ser escrito como combinação linear deles:
u = a1e1 + a2e2 + cdots + anen
O objetivo é mostrar que esses coeficientes a1,dots,an são únicos. O conteúdo aqui é a definição de independência linear e uma prova por contradição simples.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que exista outra forma de escrever u com coeficientes diferentes, digamos
u = b1e1 + b2e2 + cdots + bnen
em que algum bi difere de ai.

Passo 3

Subtraindo uma expressão da outra, obtemos
0 = u - u = (a1 - b1)e1 + (a2 - b2)e2 + cdots + (an - bn)en
Por definição de independência linear, a única combinação que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Logo,
ai - bi = 0 para todo i = 1,2,dots,n

Passo 4

Da igualdade ai - bi = 0 segue ai = bi para cada índice i. Assim, não pode haver dois conjuntos de coeficientes distintos que representem o mesmo vetor u.

Resposta

A representação de u na base e1,dots,en é única, pois qualquer tentativa de ter dois vetores de coeficientes distintos leva, pela independência linear, à conclusão de que esses coeficientes devem ser iguais.

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