12
Sendo dado que integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi2, determine Lt^-12. Qual é o valor de Le^-t t^52 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar transformadas de Laplace de duas funções usando a relação com a função Gama e a integral gaussiana dada. O conteúdo envolve definição da transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no eixo s para o fator exponencial.

Passo 2

Lembremos que a transformada de Laplace de uma função t^{α−1} é dada por Lt^alpha-1(s)=Gamma(alpha)s^alpha, onde Gamma(alpha)=integral0^inftyx^alpha-1e^-xdx.
Precisamos primeiro obter Gamma(1/2). Sabendo que integral0^inftye^-x^2dx=raizpi2, fazemos a substituição x=u^2, de modo que
Gammal(tfrac12r)=integral0^inftyx^-1/2e^-xdx=2integral0^inftye^-u^2du=2cdot raizpi2=raizpi

Passo 3

Aplicando a fórmula da transformada, para t^-1/2=t^(1/2)-1 temos alpha=1/2, logo
Lt^-1/2(s)=Gamma(1/2)s^1/2=raizpis^1/2

Passo 4

Para e^-tt^5/2 usamos a propriedade de deslocamento: se Lf(t)(s)=F(s), então Le^-atf(t)(s)=F(s+a). Aqui f(t)=t^5/2, que é t^(7/2)-1, então alpha=7/2 e
Lt^5/2(s)=Gamma(7/2)s^7/2

Passo 5

Calculamos Gamma(7/2)=(5/2)(3/2)(1/2)Gamma(1/2)=158raizpi Assim, pelo deslocamento com a=1:
Le^-tt^5/2(s)=Gamma(7/2)(s+1)^7/2=15raizpi8,(s+1)^7/2

Resposta

Lt^-1/2(s)=raizpiraizs, Le^-tt^5/2(s)=15raizpi8,(s+1)^7/2.

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