(b) Se f^prime(p)=0 e f^prime prime(p)<0, então p é ponto de máximo local de f.

Passo 1

Enunciado: temos uma função f com f'(p)=0 e f''(p)<0. O conteúdo aqui é o teste da segunda derivada para extremos e vamos precisar usar a expansão de Taylor em torno de p.

Passo 2

Pela fórmula de Taylor reduzida, para x próximo de p:
f(x) = f(p) + f'(p)(x-p) + f''(p)2(x-p)^2 + o((x-p)^2)
Como f'(p)=0 e f''(p)<0, o termo dominante é tfracf''(p)2(x-p)^2, que é negativo para xneq p. Logo f(x) para x suficientemente próximo de p.

Passo 3

Isso mostra que f(p) é maior que os valores de f em torno de p, logo p é ponto de máximo local.

Resposta

Verdadeiro: pelo teste da segunda derivada com f''(p)<0, p é ponto de máximo local de f.

Exercícios relacionados