sumk=1^infty 3^k3^k / 2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série infinita
sumk=1^infty 3^k3^k/2
Isso é conteúdo de séries infinitas, em particular série geométrica. Vamos usar as regras de potência e a condição de convergência de série geométrica.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando a propriedade de potências:
3^k3^k/2=3^k - tfrack2=3^tfrack2
Perceba que isso equivale a (raiz3)^k.

Passo 3

Em seguida, reconhecemos que temos uma série geométrica de termos
ak=(raiz3)^k
e razão
r=raiz3
Uma série geométrica sumk=1^infty r^k converge somente se |r|<1.

Passo 4

Aqui |r|=raiz3approx1,732>1, portanto a condição de convergência não é atendida e a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois sua razão é raiz3>1.

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