(12) Três cargas estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado a=0,5 \mathrm{~m} : q_{A}=+2,0 \mu \mathrm{C}, q_{B}=+2,0 \mu \mathrm{C} e q_{C}=-2,0 \mu \mathrm{C}. Calcule o campo elétrico no centro geométrico do triângulo.

Passo 1

O enunciado coloca três cargas pontuais nos vértices de um triângulo equilátero de lado a=0,5,m: \,q_A=+2{,}0 \muC, q_B=+2{,}0 \muC e q_C=-2{,}0 \muC.
Pede-se o campo elétrico resultante no centro geométrico do triângulo.
O que vamos usar:
  1. A lei de Coulomb para o campo de uma carga pontual,
  2. Princípio da superposição vetorial,
  3. Geometria do triângulo equilátero e escolha de um sistema de coordenadas com o centro no eixo de referência.

Passo 2

Colocamos o centro do triângulo na origem do plano (x,y). Em um triângulo equilátero de lado a, a distância do centro a cada vértice é
R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0,5}{\sqrt{3}}\approx 0,2887\text{ m}\,.
Escolhemos os vértices de modo que seus vetores posição (relativos ao centro) sejam:
\vec r_A = (0,\,R),\quad \vec r_B = \bigl(-\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{R}{2}\bigr),\quad \vec r_C = \bigl(+\tfrac{a}{2},\,-\tfrac{R}{2}\bigr).

Passo 3

Calculamos os versores \hat u_i=\vec r_i/R que apontam do centro a cada carga:
\hat u_A = (0,\,1),\quad \hat u_B = \Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,-\tfrac12\Bigr),\quad \hat u_C = \Bigl(+\tfrac{\sqrt{3}}{2},\,-\tfrac12\Bigr).

Passo 4

Pela lei de Coulomb, o campo da carga q_i no centro vale
\vec E_i = k\,q_i\,\frac{\hat u_i}{R^2},
com k=8{,}99\times10^9\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}. Como todas estão à mesma distância R, temos
\vec E = \sum_{i=A,B,C}\vec E_i = \frac{k}{R^2}\sum_{i}q_i\,\hat u_i.

Passo 5

Somamos q_i\,\hat u_i em componentes (em \muC):
q_A\hat u_A = 2\,(0,1)=(0,2),\quad q_B\hat u_B = 2\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac12\Bigr)=(-\sqrt3,\,-1),
q_C\hat u_C = -2\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2},-\tfrac12\Bigr)=(-\sqrt3,\,+1).
Logo
\sum_i q_i\hat u_i = \bigl(-\sqrt3 -\sqrt3,\;2 -1 +1\bigr) = \bigl(-2\sqrt3,\;2\bigr).

Passo 6

Agora aplicamos o fator \dfrac{k}{R^2} e convertemos \muC em C 1\times10^{-6}:
\frac{k}{R^2} = \frac{8{,}99\times10^9}{(0,2887)^2}\approx1{,}0788\times10^{11},
\vec E = 1{,}0788\times10^{11}\times10^{-6}\,\bigl(-2\sqrt3,\;2\bigr) = \bigl(-3{,}74\times10^5,\;2{,}16\times10^5\bigr)\,\mathrm{N/C}.

Passo 7

Para finalizar, podemos achar módulo e direção:
|\vec E| = \sqrt{(-3{,}74\times10^5)^2 + (2{,}16\times10^5)^2} \approx4{,}32\times10^5\;\mathrm{N/C},
e o ângulo \theta medido desde o eixo +x (componentes (E_x,E_y) com E_x<0,E_y>0) é
\theta = 180^\circ - \arctan\!\bigl|\tfrac{E_y}{E_x}\bigr| =180^\circ - \arctan(0{,}577)\approx150^\circ.

Resposta

\boxed{ \vec E(0,0) = (-3{,}74\times10^5\,\hat\imath + 2{,}16\times10^5\,\hat\jmath)\,\mathrm{N/C} \quad\bigl(|E|\approx4{,}32\times10^5\,\mathrm{N/C},\;\theta\approx150^\circ\bigr). }

Exercícios relacionados