(15) Um anel de raio
está uniformemente carregado com carga total
. Desenhe as linhas de campo elétrico no plano do anel e ao longo do eixo perpendicular que passa por seu centro. Discuta o comportamento do campo no centro do anel e em pontos distantes.
Passo 1
O enunciado descreve um anel de raio
com carga total uniforme
. Queremos esquematizar as linhas de campo elétrico (linhas de
) no plano do anel e num plano que contenha o eixo perpendicular que passa pelo centro. O conteúdo usado será a lei de Coulomb, simetria do problema e a expressão do campo no eixo de um anel carregado.
Passo 2
Análise qualitativa no plano do anel (plano horizontal):
- No centro
todas as contribuições de elementos de carga se cancelam por simetria circular, logo
- Num ponto do plano a uma distância radial
, o segmento mais próximo do anel repele com maior intensidade do que o oposto, produzindo um campo resultante apontando para o centro (radialmente “para dentro”). - Num ponto do plano com
prevalece o repulso das cargas mais próximas no anel e o vetor campo apunta para fora (radialmente “para fora”). - Desenhando as linhas de campo: de cada ponto do anel saem linhas que, no interior, curvam-se para o centro e depois sobem para fora do plano; no exterior, saem radialmente para longe e também se elevam para o infinito.
Passo 3
Expressão do campo ao longo do eixo perpendicular (eixo
passando pelo centro):
Pelo resultado padrão, para um anel de carga total e raio
, no ponto de coordenada
no eixo temos
Pelo resultado padrão, para um anel de carga total
- Para
, , isto é, o campo aponta no sentido positivo de (para cima). - Para
, , aponta para baixo. - Em
recuperamos , coerente com o resultado no centro.
Passo 4
Comportamento em limites:
- Perto do centro no eixo
, faz-se a expansão , logo
- No eixo, existe um máximo de
em . - Para
, obtemos
como se fosse uma carga pontual
no centro.
4. De modo análogo, no plano do anel para o campo varia como
, radial para fora.
4. De modo análogo, no plano do anel para
Resposta
As linhas de campo elétrico são simetricamente geradas pelo anel positivo:
(a) No plano do anel, saem de cada ponto do anel linhas que, internamente, dirigem-se radialmente para o centro (onde ) antes de curvar-se para fora do plano, e externamente saem radialmente para o infinito.
(b) Num corte que contém o eixo perpendicular, as linhas saem do anel ao longo do eixo nos dois sentidos e
, começando com intensidade zero em
, atingindo pico em
e, para
, comportam-se como as de uma carga pontual
.
(a) No plano do anel, saem de cada ponto do anel linhas que, internamente, dirigem-se radialmente para o centro (onde
(b) Num corte que contém o eixo perpendicular, as linhas saem do anel ao longo do eixo nos dois sentidos