(14) Um plano infinito está uniformemente carregado com densidade superficial
. Esboce as linhas de campo elétrico associadas e justifique por que o campo é uniforme e perpendicular ao plano.
Passo 1
O enunciado trata de um plano infinito com carga superficial uniforme
. Queremos esboçar as linhas do campo elétrico gerado por esse plano e justificar por que esse campo é uniforme (mesmo módulo em qualquer ponto) e aponta sempre perpendicularmente ao plano. O conteúdo principal é simetria e aplicação do Teorema de Gauss em eletrostática.
Passo 2
Pela simetria de translação (o plano é infinito e idêntico em qualquer ponto) e de rotação em torno de um eixo normal ao plano, o vetor campo
não pode ter componente paralela ao plano (não haveria nenhum ponto preferencial nessa direção) e depende apenas da distância
até o plano. Logo, tem direção normal ao plano, digamos
, e módulo
.
Passo 3
Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro cujas bases são dois círculos de área
, um de cada lado do plano, e eixo alinhado com
. Suponha que o cilindro intercepte o plano no meio, de tal forma que cada base esteja a distância
de um dos lados do plano. A carga interna a essa superfície é
Passo 4
Pelo Teorema de Gauss,
Como
é constante sobre cada base e nulo na superfície lateral (pois
lateral), temos
Passo 5
O resultado
não depende de
nem de
, o que mostra que o campo é uniforme em qualquer distância do plano. A única direção compatível com a simetria é a normal ao plano, para fora dele (já que
), provando que o campo é perpendicular ao plano.
Resposta
As linhas de campo são retas e paralelas, saindo perpendicularmente do plano para ambos os lados, igualmente espaçadas (indicando módulo constante). Em cada ponto o campo vale
onde
é o versor normal ao plano, apontando para fora (pois
).