(14) Um plano infinito está uniformemente carregado com densidade superficial \sigma>0. Esboce as linhas de campo elétrico associadas e justifique por que o campo é uniforme e perpendicular ao plano.

Passo 1

O enunciado trata de um plano infinito com carga superficial uniforme \sigma>0. Queremos esboçar as linhas do campo elétrico gerado por esse plano e justificar por que esse campo é uniforme (mesmo módulo em qualquer ponto) e aponta sempre perpendicularmente ao plano. O conteúdo principal é simetria e aplicação do Teorema de Gauss em eletrostática.

Passo 2

Pela simetria de translação (o plano é infinito e idêntico em qualquer ponto) e de rotação em torno de um eixo normal ao plano, o vetor campo \vec{E} não pode ter componente paralela ao plano (não haveria nenhum ponto preferencial nessa direção) e depende apenas da distância z até o plano. Logo, tem direção normal ao plano, digamos \hat{n}, e módulo E(z).

Passo 3

Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro cujas bases são dois círculos de área A, um de cada lado do plano, e eixo alinhado com \hat{n}. Suponha que o cilindro intercepte o plano no meio, de tal forma que cada base esteja a distância h de um dos lados do plano. A carga interna a essa superfície é
Q_{\rm int} = \sigma \,A.

Passo 4

Pelo Teorema de Gauss,
\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{A} \;=\;\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_0}.
Como \vec{E} é constante sobre cada base e nulo na superfície lateral (pois \vec{E}\perp lateral), temos
E\cdot A + E\cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \;\Longrightarrow\; 2\,E\,A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \;\Longrightarrow\; E = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}.

Passo 5

O resultado E=\sigma/(2\varepsilon_0) não depende de h nem de z, o que mostra que o campo é uniforme em qualquer distância do plano. A única direção compatível com a simetria é a normal ao plano, para fora dele (já que \sigma>0), provando que o campo é perpendicular ao plano.

Resposta

As linhas de campo são retas e paralelas, saindo perpendicularmente do plano para ambos os lados, igualmente espaçadas (indicando módulo constante). Em cada ponto o campo vale
\vec{E} = \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}\,\hat{n},
onde \hat{n} é o versor normal ao plano, apontando para fora (pois \sigma>0).

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