Ex. 12 Verifique se as funções são diferenciáveis:
Função f: R^2 longrightarrow R, f(x, y)=rr4 x yx^2+y^2 se & (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a diferenciabilidade da função
fcolonR^2toR, f(x,y)= dfrac4xyx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis. Precisamos checar dois casos: pontos fora da origem e o ponto (0,0).]

Passo 2

Se (x,y)neq(0,0), o numerador 4xy e o denominador x^2+y^2 são funções polinomiais diferenciáveis, e x^2+y^2neq0. Logo
f(x,y)=4xyx^2+y^2
é quociente de funções diferenciáveis com denominador não nulo, portanto f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos de continuidade para sequer pensar em derivada. Olhemos o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
Se aproximarmos por y=x, temos
f(x,x)=4xcdot xx^2+x^2=4x^22x^2=2,
enquanto f(0,0)=0. Como esse limite não é 0, f não é sequer contínua em (0,0), logo não pode ser diferenciável ali.

Resposta

f é diferenciável em R^2setminus(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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