Ex. 12 Verifique se as funções são diferenciáveis:
Função
.
Função
Passo 1
O enunciado pede para verificar a diferenciabilidade da função
O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis. Precisamos checar dois casos: pontos fora da origem e o ponto
(0,0) .]
Passo 2
Se
(x,y)neq(0,0) , o numerador
4xy e o denominador
x^2+y^2 são funções polinomiais diferenciáveis, e
x^2+y^2neq0 . Logo
é quociente de funções diferenciáveis com denominador não nulo, portanto
f é diferenciável em todo ponto
(x,y)neq(0,0) .
Passo 3
No ponto
(0,0) precisamos de continuidade para sequer pensar em derivada. Olhemos o limite
Se aproximarmos por
y=x , temos
enquanto
f(0,0)=0 . Como esse limite não é
0 ,
f não é sequer contínua em
(0,0) , logo não pode ser diferenciável ali.