Encontre (f^-1)^prime(0) se
f(x)=integral0^x 1+sen(sen t) d t.
Não procure avaliar f explicitamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=integral0^xl(1+sen(sen t)r),dt
e pede o valor de l(f^-1r)'(0). Para isso, vamos usar o Teorema da Derivada da Função Inversa e o Teorema Fundamental do Cálculo, sem calcular f(x) explicitamente.

Passo 2

Pela fórmula da derivada da inversa, se y=f(x) é invertível, então
l(f^-1r)'(y) =1f'l(f^-1(y)r)

Passo 3

Precisamos achar x0 tal que f(x0)=0. Como
f(0)=integral0^0l(1+sen(sen t)r),dt=0
e a integranda 1+sen(sen t) é sempre maior do que zero (pois sen(sen t)>= -1), f é estritamente crescente, logo
f^-1(0)=0

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de f é justamente a integranda avaliada em x:
f'(x)=1+senl(sen xr)

Passo 5

Agora avaliamos f' em x0=0:
f'(0)=1+senl(sen 0r)=1+sen(0)=1+0=1

Passo 6

Aplicando a fórmula da derivada da inversa em y=0:
l(f^-1r)'(0) =1f'l(f^-1(0)r) =1f'(0) =11 =1

Resposta

l(f^-1r)'(0)=1

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