Utilize o método das frações parciais para decompor:
2(s^2+1) cdot(s-1)^2

Passo 1

O enunciado pede decompor
2(s^2+1)(s-1)^2
pelo método de frações parciais. Aqui temos um fator quadrático irreduzível (s^2+1) e um fator linear elevado (s-1)^2. A forma geral da decomposição é
2(s^2+1)(s-1)^2 = As+Bs^2+1 + Cs-1 + D(s-1)^2

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (s^2+1)(s-1)^2 para obter uma identidade polinomial em s:
2 = (As+B)(s-1)^2 + C,(s^2+1)(s-1) + D,(s^2+1)

Passo 3

Expandimos cada termo e agrupamos coeficientes de potências de s. Primeiro
(s-1)^2 = s^2 -2s +1,
logo
(As+B)(s^2-2s+1) = A s^3 +(-2A+B),s^2 + (A-2B),s + B
Também
C(s^2+1)(s-1) = C(s^3 - s^2 + s -1) = C,s^3 - C,s^2 + C,s - C,
e
D(s^2+1) = D,s^2 + D
Somando tudo, igualamos a
(A+C),s^3 +l(-2A+B - C +Dr),s^2 +l(A-2B+Cr),s +l(B - C +Dr) = 2 + 0,s +0,s^2 +0,s^3
Isso gera o sistema
A + C = 0, -2A + B - C + D = 0, A - 2B + C = 0, B - C + D = 2

Passo 4

Da primeira equação vem C=-A. Substituindo na terceira obtemos -2B=0 e, portanto, B=0. Na segunda ficamos com -2A -(-A) + D = -A + D = 0, logo D=A. Por fim, a quarta dá -(-A)+A =2A =2, ou seja A=1. Assim
A=1, B=0, C=-1, D=1

Resposta

2(s^2+1)(s-1)^2 = ss^2+1 ;-;1s-1 ;+;1(s-1)^2

Exercícios relacionados