Encontre (f^-1)^prime(0) se
f(x)=integral0^x cos (cos t) d t.
Não procure avaliar f explicitamente.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=integral0^xcos(cos t),dt
e pede l(f^-1r)'(0). O conteúdo utilizado será a fórmula da derivada da função inversa e a regra fundamental do cálculo para derivar f.

Passo 2

A fórmula da derivada da inversa diz que, para y=f(x) e supondo f'(x)neq0,
l(f^-1r)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)

Passo 3

Precisamos de f^-1(0). Como
f(0)=integral0^0cos(cos t),dt=0,
segue que
f^-1(0)=0

Passo 4

Pela regra fundamental do cálculo, a derivada de f é
f'(x)=cos(cos x)
Em particular,
f'(0)=cos(cos 0)=cos(1)

Passo 5

Aplicando a fórmula da inversa em y=0, com f^-1(0)=0 e f'(0)=cos(1), obtemos
l(f^-1r)'(0) =1f'(0) =1cos(1)

Resposta

l(f^-1r)'(0)=1cos(1)

Exercícios relacionados