De 120 estudantes, 60 estudam francês, 50 estudam espanhol e 20 estudam francês e espanhol. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade de que o estudante estude francês ou espanhol.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados:
- Total de estudantes:
. - Estudam francês:
. - Estudam espanhol:
. - Estudam ambos (francês e espanhol):
.
O que o problema pede:
- Encontrar a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente estude francês ou espanhol (ou os dois).
Passo 2
Vamos nomear os eventos para ficar claro:
-
= evento “estuda francês”. -
= evento “estuda espanhol”.
Definição de probabilidade usada aqui:
- A probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis.
- Como estamos escolhendo um estudante uniformemente entre os
, a probabilidade de um evento é
Para a união de dois eventos (estuda francês ou espanhol) usamos a regra da inclusão-exclusão. A fórmula é:
onde:
-
é a probabilidade de estudar francês, -
é a probabilidade de estudar espanhol, -
é a probabilidade de estudar ambos.
Explicação rápida do porquê do termo subtraído: ao somar
e
contamos duas vezes os alunos que estudam ambos, por isso subtraímos
.
Passo 3
Primeiro vamos trabalhar com contagens (números de estudantes). A versão em contagem da inclusão-exclusão é
onde
indica o número de estudantes no conjunto.
Substituindo os números dados:
Agora calculamos a soma e a diferença:
Portanto
. Intuição: 60 falantes de francês mais 50 de espanhol seria 110, mas 20 estão em ambas as listas, então foram contados duas vezes; ao tirar esses 20 obtemos 90 estudantes distintos que estudam pelo menos uma das línguas.
Passo 4
Agora transformamos a contagem em probabilidade usando a definição do Passo 2:
Vamos simplificar a fração
. Podemos dividir numerador e denominador por
:
Convertendo para decimal e porcentagem:
Passo 5
Checagem rápida de coerência:
- A probabilidade está entre
e : está OK. - Soma simples das probabilidades sem corrigir interseção seria
. A nossa resposta é menor, porque subtraímos a dupla contagem dos que estudam ambas as línguas — faz sentido.
Passo 6
Resumo curto e incentivo: a técnica principal aqui é a regra da inclusão-exclusão para unir dois conjuntos. Você já tem a conta pronta para aplicar em problemas parecidos. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo que praticamos.