De 120 estudantes, 60 estudam francês, 50 estudam espanhol e 20 estudam francês e espanhol. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade de que o estudante estude francês ou espanhol.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • Total de estudantes: \;120.
  • Estudam francês: \;60.
  • Estudam espanhol: \;50.
  • Estudam ambos (francês e espanhol): \;20.
O que o problema pede:
  • Encontrar a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente estude francês ou espanhol (ou os dois).

Passo 2

Vamos nomear os eventos para ficar claro:
  • F = evento “estuda francês”.
  • S = evento “estuda espanhol”.
Definição de probabilidade usada aqui:
  • A probabilidade de um evento é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis.
  • Como estamos escolhendo um estudante uniformemente entre os \;120, a probabilidade de um evento A é
P(A)=\frac{\text{número de estudantes que satisfazem }A}{120}.ú
Para a união de dois eventos (estuda francês ou espanhol) usamos a regra da inclusão-exclusão. A fórmula é:
P(F\cup S)=P(F)+P(S)-P(F\cap S),
onde:
  • P(F) é a probabilidade de estudar francês,
  • P(S) é a probabilidade de estudar espanhol,
  • P(F\cap S) é a probabilidade de estudar ambos.
Explicação rápida do porquê do termo subtraído: ao somar P(F) e P(S) contamos duas vezes os alunos que estudam ambos, por isso subtraímos P(F\cap S).

Passo 3

Primeiro vamos trabalhar com contagens (números de estudantes). A versão em contagem da inclusão-exclusão é
|F\cup S| = |F| + |S| - |F\cap S|,
onde |\cdot| indica o número de estudantes no conjunto.
Substituindo os números dados:
|F\cup S| = 60 + 50 - 20.
Agora calculamos a soma e a diferença:
60 + 50 = 110, \qquad 110 - 20 = 90.
Portanto |F\cup S| = 90. Intuição: 60 falantes de francês mais 50 de espanhol seria 110, mas 20 estão em ambas as listas, então foram contados duas vezes; ao tirar esses 20 obtemos 90 estudantes distintos que estudam pelo menos uma das línguas.

Passo 4

Agora transformamos a contagem em probabilidade usando a definição do Passo 2:
P(F\cup S)=\frac{|F\cup S|}{120}=\frac{90}{120}.
Vamos simplificar a fração \dfrac{90}{120}. Podemos dividir numerador e denominador por 30:
\frac{90}{120}=\frac{90\div 30}{120\div 30}=\frac{3}{4}.
Convertendo para decimal e porcentagem:
\frac{3}{4}=0{,}75=75\%.

Passo 5

Checagem rápida de coerência:
  • A probabilidade está entre 0 e 1: 0{,}75 está OK.
  • Soma simples das probabilidades sem corrigir interseção seria \dfrac{60}{120}+\dfrac{50}{120}=\dfrac{110}{120}\approx0{,}9167. A nossa resposta \dfrac{3}{4}=0{,}75 é menor, porque subtraímos a dupla contagem dos 20 que estudam ambas as línguas — faz sentido.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: a técnica principal aqui é a regra da inclusão-exclusão para unir dois conjuntos. Você já tem a conta pronta para aplicar em problemas parecidos. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo que praticamos.

Resposta

\dfrac{3}{4}
0{,}75
75\%

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