Um ponto é escolhido aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento L. Encontre a probabilidade de sua distância de um dos vértices ser maior que L/3.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (interpretei “a distância de um dos vértices” como a distância até o vértice mais próximo — ou seja, queremos que essa distância seja maior que L/3). Informações do enunciado:
  • Há um segmento de reta de comprimento L.
  • Um ponto é escolhido aleatoriamente ao longo desse segmento (interpreta-se escolha uniforme).
    O que o enunciado pede:
  • A probabilidade de que a distância do ponto ao vértice mais próximo seja maior que L/3.

Passo 2

Escolher um sistema de referência simples para trabalhar com números. Coloco o segmento no eixo real com os extremos em 0 e L. Seja x a abscissa (posição) do ponto escolhido, assim x varia uniformemente em [0,L].
Explicação didática: escolha “aleatória” e uniforme aqui significa que a probabilidade de o ponto cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Por exemplo, a probabilidade de cair entre a e b com 0\le a<b\le L é (b-a)/L.

Passo 3

Escrever a condição pedida em termos de x.
  • A distância do ponto ao vértice esquerdo é x.
  • A distância ao vértice direito é L-x.
    A distância ao vértice mais próximo é \min(x,\,L-x).
    Queremos que essa distância seja maior que L/3. Em palavras: o ponto deve ficar a mais de L/3 de ambos os vértices simultaneamente.
    Em forma matemática isso é
\min(x,\,L-x) > \frac{L}{3}.
Isto equivale a exigir
x > \frac{L}{3}\quad\text{e}\quad L-x > \frac{L}{3}.

Passo 4

Resolver as desigualdades para encontrar o intervalo de x favorável.
Da segunda desigualdade L-x>\dfrac{L}{3} obtemos
x < L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}.
Combinando com x>\dfrac{L}{3} temos o intervalo favorável
\frac{L}{3} < x < \frac{2L}{3}.
Explicação didática: geometricamente, isso é a porção central do segmento que está a distância maior que L/3 de ambos os extremos.

Passo 5

Calcular o comprimento do intervalo favorável e a probabilidade.
O comprimento do intervalo \left(\dfrac{L}{3},\dfrac{2L}{3}\right) é
\frac{2L}{3}-\frac{L}{3}=\frac{L}{3}.
Como a escolha é uniforme, a probabilidade é o comprimento favorável dividido pelo comprimento total L:
\text{Probabilidade}=\frac{\frac{L}{3}}{L}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificação numérica rápida para fixar a ideia (exemplo concreto): se L=12, o intervalo favorável é (4,8) que tem comprimento 4. A probabilidade é 4/12=1/3. Assim faz sentido e é independente de L.

Passo 7

Resumo didático final: ao escolher uniformemente um ponto no segmento, a condição de estar a mais de L/3 do vértice mais próximo corresponde exatamente ao ponto estar na parte central de comprimento L/3. A razão entre esse comprimento e L é 1/3, que é a probabilidade procurada. Força aí — nessa prova é só lembrar de modelar com x e dividir comprimentos!

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados