Um ponto é escolhido aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento L. Encontre a probabilidade de sua distância de um dos vértices ser maior que L/3.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (interpretei “a distância de um dos vértices” como a distância até o vértice mais próximo — ou seja, queremos que essa distância seja maior que
). Informações do enunciado:
- Há um segmento de reta de comprimento
. - Um ponto é escolhido aleatoriamente ao longo desse segmento (interpreta-se escolha uniforme).
O que o enunciado pede: - A probabilidade de que a distância do ponto ao vértice mais próximo seja maior que
.
Passo 2
Escolher um sistema de referência simples para trabalhar com números. Coloco o segmento no eixo real com os extremos em
e
. Seja
a abscissa (posição) do ponto escolhido, assim
varia uniformemente em
.
Explicação didática: escolha “aleatória” e uniforme aqui significa que a probabilidade de o ponto cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Por exemplo, a probabilidade de cair entre e
com
é
.
Explicação didática: escolha “aleatória” e uniforme aqui significa que a probabilidade de o ponto cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento desse subintervalo. Por exemplo, a probabilidade de cair entre
Passo 3
Escrever a condição pedida em termos de
.
- A distância do ponto ao vértice esquerdo é
. - A distância ao vértice direito é
.
A distância ao vértice mais próximo é.
Queremos que essa distância seja maior que. Em palavras: o ponto deve ficar a mais de de ambos os vértices simultaneamente.
Em forma matemática isso é
Isto equivale a exigir
Passo 4
Resolver as desigualdades para encontrar o intervalo de
favorável.
Da segunda desigualdade obtemos
Da segunda desigualdade
Combinando com
temos o intervalo favorável
Explicação didática: geometricamente, isso é a porção central do segmento que está a distância maior que
de ambos os extremos.
Passo 5
Calcular o comprimento do intervalo favorável e a probabilidade.
O comprimento do intervalo é
O comprimento do intervalo
Como a escolha é uniforme, a probabilidade é o comprimento favorável dividido pelo comprimento total
:
Passo 6
Verificação numérica rápida para fixar a ideia (exemplo concreto): se
, o intervalo favorável é
que tem comprimento
. A probabilidade é
. Assim faz sentido e é independente de
.
Passo 7
Resumo didático final: ao escolher uniformemente um ponto no segmento, a condição de estar a mais de
do vértice mais próximo corresponde exatamente ao ponto estar na parte central de comprimento
. A razão entre esse comprimento e
é
, que é a probabilidade procurada. Força aí — nessa prova é só lembrar de modelar com
e dividir comprimentos!