De 120 estudantes, 70 estudam matemática, 80 estudam português e 40, matemática e português. Se um estudante é escolhido aleatoriamente, encontre a probabilidade dele:
a) Estudar matemática ou português ,b) só estudar português ,c) só estudar matemática , d) não estudar matemática, e) não estudar nem português e nem estudar matemática.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço amostral de 120 estudantes, onde 70 estudam matemática M, 80 estudam português P e 40 estudam ambas as disciplinas M\cap P. Queremos calcular probabilidades de eventos envolvendo uniões, interseções e complementos. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão e a noção de complemento em probabilidade.

Passo 2

Calculemos as cardinalidades dos eventos de interesse:
Usando inclusão-exclusão, a união tem
|M\cup P| = |M| + |P| - |M\cap P| = 70 + 80 - 40 = 110.
O número de alunos que estudam só português é
|\text{só }P| = |P| - |M\cap P| = 80 - 40 = 40.ó
O número de alunos que estudam só matemática é
|\text{só }M| = |M| - |M\cap P| = 70 - 40 = 30.ó
O número de alunos que não estudam matemática é
|\text{não }M| = 120 - |M| = 120 - 70 = 50.ã
O número de alunos que não estudam nem matemática nem português (complemento da união) é
|\text{nenhum}| = 120 - |M\cup P| = 120 - 110 = 10.

Passo 3

Agora dividimos cada cardinalidade pelo total 120 para obter as probabilidades e simplificamos as frações:
P(M\cup P) = \frac{110}{120} = \frac{11}{12},
P(\text{só }P) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3},ó
P(\text{só }M) = \frac{30}{120} = \frac{1}{4},ó
P(\text{não }M) = \frac{50}{120} = \frac{5}{12},ã
P(\text{nenhum}) = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}.

Resposta

(a) \tfrac{11}{12}
(b) \tfrac{1}{3}
(c) \tfrac{1}{4}
(d) \tfrac{5}{12}
(e) \tfrac{1}{12}

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