Use o teorema de Stokes para calcular
onde
e S é a parte da esfera
à direita do plano
(isto é,
) com normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede
onde
e
é a meia-esfera
com
, usando o normal exterior.
Conteúdo: Teorema de Stokes, que diz
Conteúdo: Teorema de Stokes, que diz
Vamos primeiro achar a curva
e depois computar a integral de linha.
Passo 2
A fronteira
é a interseção da esfera com o plano
, ou seja o círculo
com orientação dada pela regra da mão direita, usando o normal exterior de
.
Passo 3
Usando Stokes,
Passo 4
Parametrizamos
por
Nesse sentido, em cada ponto
o vetor tangent
coincide com a orientação dada pelo “polegar no vetor normal exterior” e dedos seguindo
.
Em
,
, logo
Também
Então
Passo 5
Agora integramos de
a
:
Separando:
Somando, obtém-se