Use o teorema de Stokes para calcular \iint_{\mathrm{S}} \operatorname{rot} \vec{f} \cdot \vec{n} d S onde
\vec{f}(x, y, z)=\left(e^{x y}, e^{x z}, x+z\right)
e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 à direita do plano x z (isto é, y \geq 0 ) com normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{S}(\nabla\times \vec f)\cdot\vec n\,dS
onde \vec f(x,y,z)=\bigl(e^{xy},\,e^{xz},\,x+z\bigr) e S é a meia-esfera x^2+y^2+z^2=1 com y\ge0, usando o normal exterior.
Conteúdo: Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times \vec f)\cdot\vec n\,dS =\oint_{\partial S}\vec f\cdot d\vec r.
Vamos primeiro achar a curva \partial S e depois computar a integral de linha.

Passo 2

A fronteira \partial S é a interseção da esfera com o plano y=0, ou seja o círculo
C:\quad x^2+z^2=1,\;y=0,
com orientação dada pela regra da mão direita, usando o normal exterior de S.

Passo 3

Usando Stokes,
\iint_{S}(\nabla\times \vec f)\cdot\vec n\,dS =\oint_{C}\vec f\cdot d\vec r.

Passo 4

Parametrizamos C por
\vec r(t)=\bigl(\cos t,\,0,\,\sin t\bigr),\quad t\in[0,2\pi].
Nesse sentido, em cada ponto \vec r(t) o vetor tangent \vec r\,'(t)=(-\sin t,0,\cos t) coincide com a orientação dada pelo “polegar no vetor normal exterior” e dedos seguindo \vec r\,'(t).
Em C, y=0, logo
\vec f\bigl(\vec r(t)\bigr) =\bigl(e^{\cos t\cdot0},\,e^{\cos t\sin t},\,\cos t+\sin t\bigr) =\bigl(1,\;e^{\sin t\cos t},\;\cos t+\sin t\bigr).
Também
d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt =\bigl(-\sin t,\,0,\,\cos t\bigr)\,dt.
Então
\vec f\cdot d\vec r =1\cdot(-\sin t)\,dt +0 +(\cos t+\sin t)\cdot(\cos t)\,dt =\bigl(-\sin t +\cos^2 t+\sin t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 5

Agora integramos de 0 a 2\pi:
\oint_C\vec f\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin t+\cos^2 t+\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Separando:
\int_{0}^{2\pi}-\sin t\,dt =0, \quad \int_{0}^{2\pi}\cos^2 t\,dt =\pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt =0.
Somando, obtém-se
\oint_C\vec f\cdot d\vec r =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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