Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=1x+2, n=5.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas sucessivas de até quinta ordem da função
f(x)=1x+2
O conteúdo usado será a regra da potência: se g(x)=(x+2)^m, então
g'(x)=m,(x+2)^m-1

Passo 2

Escrevemos
f(x)=(x+2)^-1
Aplicando a regra da potência, a primeira e a segunda derivadas são
f'(x)=-1,(x+2)^-2,
f''(x)=-1cdot(-2),(x+2)^-3=2,(x+2)^-3

Passo 3

Derivando mais duas vezes temos
f'''(x)=2cdot(-3),(x+2)^-4=-6,(x+2)^-4,
f^(4)(x)=-6cdot(-4),(x+2)^-5=24,(x+2)^-5

Passo 4

A quinta derivada sai por mais uma aplicação da regra da potência:
f^(5)(x)=24cdot(-5),(x+2)^-6=-120,(x+2)^-6
Observando o padrão de sinais e fatoriais, por indução conclui-se que
f^(n)(x)=(-1)^n,n!,(x+2)^-n-1

Resposta

f'(x)=-,(x+2)^-2
f''(x)=2,(x+2)^-3
f'''(x)=-6,(x+2)^-4
f^(4)(x)=24,(x+2)^-5
f^(5)(x)=-120,(x+2)^-6

Exercícios relacionados