Exercício 15 (D.L.1.21)
Considere o campo linear x^prime=A x, com A=(cclambda1 & 0 0 & lambda2) e a solução x: R R^2 dada por x(t)=(x1(t), x2(t))= (k1 e^lambda1 t, k2 e^lambda2 t) com condição inicial x(0)=(k1, k2) in R^2. É claro que se k1=0, x(t)=(0, x2(t)) permanece no eixo x2, que é a reta invariante do autovetor e2 e por isso suponha que k1 neq 0. Estudando
lim t pm infty |x2(t)||x1(t)|=|k2k1| lim t pm infty e^(lambda2-lambda1) t
mostre que
a) Se lambda1<lambda2<0, a solução x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x2 quando tende à origem com t +infty; dizemos que a origem é um nó estável.
b) Se 0<lambda1<lambda2, a solução x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x1 quando tende à origem com t -infty; dizemos que a origem é um nó instável.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear em R^2,
x' = A,x, A=lambda1&00&lambda2,
cuja solução geral com condição inicial x(0)=(k1,k2) é
x(t)=l(x1(t),x2(t)r)=l(k1e^lambda1t,,k2e^lambda2tr)
O que vamos usar é o comportamento assintótico da razão
l|x2(t)r|/l|x1(t)r| quando ttopminfty.

Passo 2

Calculemos a razão entre as componentes:
l|x2(t)r|l|x1(t)r| =|k2k1|, e^(lambda2-lambda1),t
Como k1neq0, o fator l|k2/k1r| é finito e não nulo, então o que diz a tangência é o comportamento de e^(lambda2-lambda1)t.

Passo 3

Caso (a): suponha lambda1<lambda2<0 e analise tto+infty.
Aqui lambda2-lambda1>0, logo
limtto+inftye^(lambda2-lambda1)t=+infty Longrightarrow limtto+inftyl|x2(t)r|l|x1(t)r|=+infty
Isto significa que, à medida que tto+infty, lvert x2(t)rvertgglvert x1(t)rvert e a trajetória alinha-se ao eixo x2. Como ambos lambda1,lambda2<0, a origem atrai todas as soluções e é, portanto, um nó estável.

Passo 4

Caso (b): suponha 0<lambda1<lambda2 e analise tto-infty.
Ainda lambda2-lambda1>0, mas agora tto-infty, então
limtto-inftye^(lambda2-lambda1)t=0 Longrightarrow limtto-inftyl|x2(t)r|l|x1(t)r|=0
Isso mostra que, quando tto-infty, lvert x1(t)rvertgglvert x2(t)rvert e a trajetória alinha-se ao eixo x1. Como lambda1,lambda2>0, a origem repele todas as soluções e é um nó instável.

Resposta

a) Para lambda1<lambda2<0 e tto+infty,
|x2(t)||x1(t)|to+infty, logo x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x2 e a origem é um nó estável.
b) Para 0<lambda1<lambda2 e tto-infty,
|x2(t)||x1(t)|to0, logo x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x1 e a origem é um nó instável.

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