Exercício 15 (D.L.1.21)
Considere o campo linear e a solução x: R R^2 dada por x(t)=(x1(t), x2(t))=(k1 e^lambda1 t, k2 e^lambda2 t) com condição inicial x(0)=(k1, k2) in R^2. É claro que se k1=0, x(t)=(0, x2(t)) permanece no eixo x2, que é a reta invariante do autovetor e2 e por isso suponha que k1 neq 0. Estudando
lim t pm infty |x2(t)||x1(t)|=|k2k1| lim t pm infty e^(lambda2-lambda1) t
mostre que
a) Se lambda1<lambda2<0, a solução x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x2 quando tende à origem com t +infty; dizemos que a origem é um nó estável.
b) Se 0<lambda1<lambda2, a solução x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x1 quando tende à origem com t -infty; dizemos que a origem é um nó instável.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear em R^2,
x' = A,x, A=lambda1&00&lambda2,
cuja solução geral com condição inicial x(0)=(k1,k2) é
Isto significa que, à medida que tto+infty, lvert x2(t)rvertgglvert x1(t)rvert e a trajetória alinha-se ao eixo x2. Como ambos lambda1,lambda2<0, a origem atrai todas as soluções e é, portanto, um nó estável.
Passo 4
Caso (b): suponha 0<lambda1<lambda2 e analise tto-infty.
Ainda lambda2-lambda1>0, mas agora tto-infty, então
Isso mostra que, quando tto-infty, lvert x1(t)rvertgglvert x2(t)rvert e a trajetória alinha-se ao eixo x1. Como lambda1,lambda2>0, a origem repele todas as soluções e é um nó instável.
Resposta
a) Para lambda1<lambda2<0 e tto+infty, |x2(t)||x1(t)|to+infty, logo x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x2 e a origem é um nó estável.
b) Para 0<lambda1<lambda2 e tto-infty, |x2(t)||x1(t)|to0, logo x(t) é assintoticamente tangente ao eixo x1 e a origem é um nó instável.