Esboce a região do plano dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A e
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos a região
Ou seja, é a interseção do “cinturão vertical” com o exterior estrito do círculo de raio 1. Vamos esboçar essa região, encontrar sua fronteira pelo conceito de conjuntos fechados e abertos, e classificá-la (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo).
Passo 2
Esboço de
A faixa é o conjunto de todos os pontos entre as retas e , incluindo essas retas.
O conjunto é o exterior do círculo unitário, sem a fronteira do círculo.
A interseção é então:
Para , temos e logo para todo . Nessas faixas e , a região é toda a faixa vertical.
Para , sobraram dois “bicos” acima de e abaixo de , porque dentro do círculo não está incluído.
Desenho: duas faixas verticais cheias para e, entre e , apenas as partes acima e abaixo do círculo de raio 1.
Passo 3
Determinação da fronteira
Use a expressão
Aqui
A=|x|<=2, B=x^2+y^2>1
– A é fechado, com partial A=x=pm2.
– B é aberto, com partial B=x^2+y^2=1.
– overline A=|x|<=2, overline B=x^2+y^2>=1.
Logo
Isto é, a união das duas retas verticais x=pm2 (para todos y tais que x^2+y^2>=1, mas isso abrange toda a reta fora do interior do círculo) com o círculo unitário x^2+y^2=1.
Passo 4
Classificação de R
– Aberto? Não, porque contém pontos de fronteira x=pm2 mas não contém o círculo unitário.
– Fechado? Não, porque não contém todos os seus pontos de fronteira (faltam os pontos em x^2+y^2=1).
– Limitado? Não, pois vai até ytopminfty nas faixas |x|in[1,2].
– Compacto? Não (precisa ser fechado e limitado).
– Conexo? Sim, pois as faixas verticais em [1,2] e [-2,-1] conectam os “bicos” de cima e de baixo formando um único pedaço.