Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 2 e 1<x^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo necessário
Temos a região
R = (x,y)inR^2 mid |x|<= 2 ;e; 1 < x^2+y^2
Ou seja, é a interseção do “cinturão vertical” |x|<=2 com o exterior estrito do círculo de raio 1. Vamos esboçar essa região, encontrar sua fronteira pelo conceito de conjuntos fechados e abertos, e classificá-la (aberto, fechado, limitado, compacto, conexo).

Passo 2

Esboço de R
  1. A faixa |x|<=2 é o conjunto de todos os pontos entre as retas x=-2 e x=2, incluindo essas retas.
  2. O conjunto x^2+y^2>1 é o exterior do círculo unitário, sem a fronteira do círculo.
  3. A interseção é então:
    • Para |x|>1, temos x^2>1 e logo x^2+y^2>1 para todo y. Nessas faixas -2<= x<-1 e 1<x<=2, a região é toda a faixa vertical.
    • Para -1<= x<=1, sobraram dois “bicos” acima de y=+raiz1-x^2 e abaixo de y=-raiz1-x^2, porque dentro do círculo não está incluído.
      Desenho: duas faixas verticais cheias para |x|in[1,2] e, entre -1 e 1, apenas as partes acima e abaixo do círculo de raio 1.

Passo 3

Determinação da fronteira partialR
Use a expressão
partial(,Acap B,) ;=; (partial Acapoverline B),cup,(partial Bcapoverline A)
Aqui
A=|x|<=2, B=x^2+y^2>1
A é fechado, com partial A=x=pm2.
B é aberto, com partial B=x^2+y^2=1.
overline A=|x|<=2, overline B=x^2+y^2>=1.
Logo
partialR = l(x=pm2capx^2+y^2>=1r) ;cup; l(x^2+y^2=1cap|x|<=2r)
Isto é, a união das duas retas verticais x=pm2 (para todos y tais que x^2+y^2>=1, mas isso abrange toda a reta fora do interior do círculo) com o círculo unitário x^2+y^2=1.

Passo 4

Classificação de R
– Aberto? Não, porque contém pontos de fronteira x=pm2 mas não contém o círculo unitário.
– Fechado? Não, porque não contém todos os seus pontos de fronteira (faltam os pontos em x^2+y^2=1).
– Limitado? Não, pois vai até ytopminfty nas faixas |x|in[1,2].
– Compacto? Não (precisa ser fechado e limitado).
– Conexo? Sim, pois as faixas verticais em [1,2] e [-2,-1] conectam os “bicos” de cima e de baixo formando um único pedaço.

Resposta

Fronteira:
partialR = l(x,y)mid x=pm2,;x^2+y^2>=1r ;cup; l(x,y)mid x^2+y^2=1,;|x|<=2r
Classificação: apenas conexo (C).

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