Exercício 14 (D.L.1.18)
Considere a equação diferencial linear autônoma
de ordem
. Como vimos em sala de aula, esta equação escalar de ordem
corresponde à equação vetorial de primeira ordem em
dada por
na qual
e
. Dizemos que
é a matriz companheira da equação de ordem
. Escreva a matriz
e mostre que
é o polinômio característico de
. Observe que
reflete a estrutura da própria equação, já que pode ser obtido a partir da equação substituindo
por
.
Considere a equação diferencial linear autônoma
Passo 1
O enunciado trata de converter a equação escalar de ordem
num sistema de primeira ordem em
usando a matriz companheira
. Nosso objetivo é escrever
explicitamente e mostrar que o polinômio característico de
é
Passo 2
Cada vetor de estado é
com
As equações são
Logo a matriz companheira
é
Passo 3
Para obter o polinômio característico, montamos
Expandindo o determinante pela última linha, obtemos um termo de cada coluna:
- Da coluna
comj surge1<= j<= n-1 vezes o determinante de uma matriz triangular cuja diagonal principal éaj-1 , ou sejalambda,dots,lambda . O sinal de cofactor e o de reordenação cancelam-se.lambda^j-1 - Da coluna
vemn vezes o determinante da submatriz triangular(lambda + an-1) , isto élambda In-1 .lambda^n-1
Somando tudo:
Resposta
A matriz companheira é
e o seu polinômio característico é