Exercício 14 (D.L.1.18)
Considere a equação diferencial linear autônoma
x^(n)+an-1 x^(n-1)+ldots+a1 x^prime+a0 x=0
de ordem n. Como vimos em sala de aula, esta equação escalar de ordem n corresponde à equação vetorial de primeira ordem em R^n dada por
(x1, x2, ldots, xn)^prime=A(x1, x2, ldots, xn),
na qual x1^prime=x2, x2^prime=x3, ldots, xn-1^prime=xn e xn^prime=-an-1 xn-an-2 xn-1-ldots-a1 x2-a0 x1. Dizemos que A é a matriz companheira da equação de ordem n. Escreva a matriz A e mostre que
pA(lambda)=lambda^n+an-1 lambda^n-1+ldots+a1 lambda+a0=0
é o polinômio característico de A. Observe que pA(lambda) reflete a estrutura da própria equação, já que pode ser obtido a partir da equação substituindo x^(k) por lambda^k.

Passo 1

O enunciado trata de converter a equação escalar de ordem n
x^(n) + an-1x^(n-1) + cdots + a1 x' + a0 x = 0
num sistema de primeira ordem em R^n usando a matriz companheira A. Nosso objetivo é escrever A explicitamente e mostrar que o polinômio característico de A é
pA(lambda)=lambda^n+an-1lambda^n-1+cdots+a1lambda+a0

Passo 2

Cada vetor de estado é (x1,x2,dots,xn) com
x1 = x, x2 = x',ldots, xn = x^(n-1)
As equações são
x1' = x2, x2' = x3,;ldots,;xn-1' = xn,
xn' = -an-1xn - an-2xn-1 - cdots - a1 x2 - a0 x1
Logo a matriz companheira A é
A = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 -,a0 & -,a1 & -,a2 & cdots & -,an-1

Passo 3

Para obter o polinômio característico, montamos
lambda I - A = lambda & -1 & 0 & cdots & 0 0 & lambda & -1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & lambda & -1 a0 & a1 & a2 & cdots & lambda + an-1
Expandindo o determinante pela última linha, obtemos um termo de cada coluna:
  • Da coluna j com 1<= j<= n-1 surge aj-1 vezes o determinante de uma matriz triangular cuja diagonal principal é lambda,dots,lambda, ou seja lambda^j-1. O sinal de cofactor e o de reordenação cancelam-se.
  • Da coluna n vem (lambda + an-1) vezes o determinante da submatriz triangular lambda In-1, isto é lambda^n-1.
Somando tudo:
pA(lambda) = (lambda + an-1),lambda^n-1 + sumj=1^n-1 aj-1,lambda^,j-1 = lambda^n + an-1lambda^n-1 + cdots + a1lambda + a0

Resposta

A matriz companheira é
A = 0 & 1 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & 0 & cdots & 1 -,a0 & -,a1 & -,a2 & cdots & -,an-1 ,
e o seu polinômio característico é
pA(lambda)=lambda^n+an-1lambda^n-1+cdots+a1lambda+a0

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