Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=raiz[3]x^2+2 x-1, n=3;

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de ordem até n=3 de
f(x) = raiz[3]x^2 + 2x - 1 = (x^2+2x-1)^1/3
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia e, a partir da segunda derivada, também da regra do produto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando
f(x) = u(x)^1/3, u(x)=x^2+2x-1,
logo
f'(x) = 13,u(x)^-2/3,u'(x) = 13(x^2+2x-1)^-2/3,(2x+2)
Portanto
f'(x) = 2(x+1)3,(x^2+2x-1)^2/3

Passo 3

Para a segunda derivada escrevemos
f'(x)=23(x+1),(x^2+2x-1)^-2/3
e aplicamos a regra do produto. Defina
A(x)=23(x+1), B(x)=(x^2+2x-1)^-2/3
Então
A'(x)=23, B'(x)=-23,(2x+2),(x^2+2x-1)^-5/3
Logo
f''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x) =23(x^2+2x-1)^-2/3 -49(x+1)(2x+2)(x^2+2x-1)^-5/3
Colocando sobre denominador comum e simplificando, obtém-se
f''(x) = -2,(x^2+2x+7)9,(x^2+2x-1)^5/3

Passo 4

Para a terceira derivada usemos
f''(x)=-29(x^2+2x+7),(x^2+2x-1)^-5/3
Definindo
C(x)=-29(x^2+2x+7), D(x)=(x^2+2x-1)^-5/3,
temos
C'(x)=-4x+49, D'(x)=-53(2x+2)(x^2+2x-1)^-8/3
Assim
f'''(x)=C'(x)D(x)+C(x)D'(x) =8,(x^3+3x^2+21x+19)27,(x^2+2x-1)^8/3

Resposta

f'(x)= 2(x+1)3,(x^2+2x-1)^2/3
f''(x)= -2,(x^2+2x+7)9,(x^2+2x-1)^5/3
f'''(x)= 8,(x^3+3x^2+21x+19)27,(x^2+2x-1)^8/3

Exercícios relacionados