Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=sen(3 x) cos (2 x), n=2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de ordem até n=2 da função
f(x)=sin(3x)cos(2x)
O conteúdo envolvido é derivação de funções trigonométricas, em particular vamos usar uma identidade de produto para simplificar antes de diferenciar e em seguida aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicamos a identidade de produto
sin Acos B = tfrac12l[sin(A+B)+sin(A-B)r],
com A=3x e B=2x.

Passo 3

Usando essa identidade, obtemos
f(x)=sin(3x)cos(2x) =tfrac12l[sin(5x)+sin(x)r]

Passo 4

Derivando uma vez, lembrando que tfracddxsin(kx)=kcos(kx), resulta
f'(x) =tfrac12l[5cos(5x)+1cdotcos(x)r] =tfrac12l[5cos(5x)+cos(x)r]

Passo 5

Derivando de novo, usando tfracddxcos(kx)=-ksin(kx), vem
f''(x) =tfrac12l[5cdot(-5)sin(5x)+(-1)sin(x)r] =tfrac12l[-25sin(5x)-sin(x)r]

Resposta

f'(x)=tfrac12l[5cos(5x)+cos(x)r]
f''(x)=tfrac12l[-25sin(5x)-sin(x)r]

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