Exercício 10 (D.L.1.14)
Suponha que
tem um autovalor real
. Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução
não trivial tal que
.
Suponha que
Passo 1
O enunciado diz que temos o sistema linear homogêneo
onde
e que existe um autovalor real
. Precisamos usar a teoria de sistemas lineares: em particular que, se
é autovetor de
associado a
, então podemos construir uma solução exponencial que decai para zero quando
.
Passo 2
Como
é autovalor real de
, existe um vetor próprio
tal que
Vamos buscar uma solução do sistema na forma
onde
é uma função escalar a determinar.
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Comparando, fica
Passo 4
A equação escalar
tem solução geral
onde
é constante. Tomando
(ou qualquer
), obtemos a solução não trivial
Passo 5
Como
, temos
quando
. Logo
Isso mostra que existe pelo menos uma solução não trivial que tende a zero.
Resposta
Uma solução não trivial é
onde
satisfaz
. Como
,
quando
.