Exercício 10 (D.L.1.14)
Suponha que A in Mn(R) tem um autovalor real lambda<0. Mostre que a equação x^prime=A x tem pelo menos uma solução x(t) não trivial tal que lim t infty x(t)=0 in R^n.

Passo 1

O enunciado diz que temos o sistema linear homogêneo
x' = A,x
onde Ain Mn(R) e que existe um autovalor real lambda<0. Precisamos usar a teoria de sistemas lineares: em particular que, se vneq0 é autovetor de A associado a lambda, então podemos construir uma solução exponencial que decai para zero quando ttoinfty.

Passo 2

Como lambda é autovalor real de A, existe um vetor próprio vneq0 tal que
A,v = lambda,v
Vamos buscar uma solução do sistema na forma
x(t) = varphi(t),v,
onde varphi(t) é uma função escalar a determinar.

Passo 3

Substituindo x(t)=varphi(t),v em x'=A,x, obtemos
x'(t) = varphi'(t),v,
A,x(t) = Al(varphi(t),vr) = varphi(t),A,v = varphi(t),lambda,v
Comparando, fica
varphi'(t),v = varphi(t),lambda,v Longrightarrow varphi'(t) = lambda,varphi(t)

Passo 4

A equação escalar varphi' = lambda,varphi tem solução geral
varphi(t) = C,e^lambda t,
onde C é constante. Tomando C=1 (ou qualquer Cneq0), obtemos a solução não trivial
x(t) = e^lambda t,v

Passo 5

Como lambda<0, temos e^lambda tto0 quando ttoinfty. Logo
limttoinftyx(t) = limttoinftye^lambda t,v = 0inR^n
Isso mostra que existe pelo menos uma solução não trivial que tende a zero.

Resposta

Uma solução não trivial é
x(t)=e^lambda t,v,
onde vneq0 satisfaz A,v=lambda,v. Como lambda<0, x(t)to0 quando ttoinfty.

Exercícios relacionados