Q 121 Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
f(x)=sen(x^2+1), n=2;

Passo 1

Temos a função
f(x)=sinl(x^2+1r)
e precisamos das derivadas de primeira e segunda ordem ( n=2). Vamos usar a regra da cadeia para derivar sin(u(x)) e, na segunda derivada, também a regra do produto.

Passo 2

Para obter f'(x), reconheça u(x)=x^2+1. A derivada de sin(u) é cos(u),u'. Aqui u'(x)=2x. Logo,
f'(x) =cosl(x^2+1r)cdot 2x =2xcosl(x^2+1r)

Passo 3

Agora derivamos
f'(x)=2xcosl(x^2+1r)
usando a regra do produto. Seja v(x)=2x e w(x)=cos(x^2+1).
Então
f''(x) =v'(x),w(x)+v(x),w'(x)
Aqui v'(x)=2 e, para w'(x), aplicamos a regra da cadeia em cos(u):
w'(x)=-sinl(x^2+1r)cdot 2x=-2xsinl(x^2+1r)
Substituindo:
f''(x) =2cdotcosl(x^2+1r) +2xcdotl(-2xsinl(x^2+1r)r)

Passo 4

Basta simplificar:
f''(x) =2cosl(x^2+1r) -4x^2sinl(x^2+1r)

Resposta

f'(x)=2xcosl(x^2+1r), f''(x)=2cosl(x^2+1r)-4x^2sinl(x^2+1r)

Exercícios relacionados