Exercício 11 (D.L.1.15)
Seja A in Mn(R) uma matriz com n autovalores reais distintos. Obtenha condições sobre os autovalores de A para que toda solução não trivial de x^prime=A x satisfaça:
a) lim t infty|x(t)|=0.
b) lim t infty|x(t)|=infty.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea
x' = A,x
onde Ain Mn(R) tem n autovalores reais distintos. Isso garante que A seja diagonalizável em R^n. Precisamos usar o fato de que, se lambda é um autovalor real de A, então a componente correspondente na solução evolui como e^lambda t.

Passo 2

Como A tem n autovalores reais distintos, existem autovetores v1,dots,vn formando base de R^n. Para condições iniciais x(0)=sumi=1^n ci vi, a solução geral é
x(t) ;=;sumi=1^n ci,e^lambdai t,vi,
onde lambdai são os autovalores de A. Note que cada termo e^lambdai t tende a zero se lambdai<0 e tende a infinito se lambdai>0.

Passo 3

Para que toda solução não trivial satisfaça
limttoinfty|x(t)|=0, é preciso que cada coeficiente exponencial decaia. Logo, é necessário e suficiente que
lambdai<0 para todo i=1,dots,n
Se algum lambdai>=0, então qualquer componente inicial na direção de vi não decairia, quebrando a condição.

Passo 4

Para que toda solução não trivial satisfaça
limttoinfty|x(t)|=infty, cada componente deve crescer exponencialmente. Assim, é necessário e suficiente que
lambdai>0 para todo i=1,dots,n
Se algum lambdai<=0, então qualquer vetor inicial puramente na direção de vi não geraria norma que diverge, violando o enunciado.

Resposta

a) lambdai<0 para todo i.
b) lambdai>0 para todo i.

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