Exercício 11 (D.L.1.15)
Seja
uma matriz com
autovalores reais distintos. Obtenha condições sobre os autovalores de
para que toda solução não trivial de
satisfaça:
a)
.
b)
.
Seja
a)
b)
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial linear homogênea
onde
tem
autovalores reais distintos. Isso garante que
seja diagonalizável em
. Precisamos usar o fato de que, se
é um autovalor real de
, então a componente correspondente na solução evolui como
.
Passo 2
Como
tem
autovalores reais distintos, existem autovetores
formando base de
. Para condições iniciais
, a solução geral é
onde
são os autovalores de
. Note que cada termo
tende a zero se
e tende a infinito se
.
Passo 3
Para que toda solução não trivial satisfaça
, é preciso que cada coeficiente exponencial decaia. Logo, é necessário e suficiente que
Se algum
, então qualquer componente inicial na direção de
não decairia, quebrando a condição.
Passo 4
Para que toda solução não trivial satisfaça
, cada componente deve crescer exponencialmente. Assim, é necessário e suficiente que
Se algum
, então qualquer vetor inicial puramente na direção de
não geraria norma que diverge, violando o enunciado.
Resposta
a)
para todo
.
b) para todo
.
b)