Esboce a região mathcalR do plano R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
R=(x, y) in R^2 ; 1 <= x^2-y^2

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)in R^2 mid 1 <= x^2 - y^2.
Precisamos esboçar essa região no plano, determinar sua fronteira e classificar se R é aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e/ou conexo (C). O conteúdo envolve geometria de conjuntos em R^2 e pré-imagens de funções contínuas.

Passo 2

A curva limite de R é a hipérbole
x^2 - y^2 = 1
que possui dois ramos, um à direita ( x>=1) e outro à esquerda ( x<=-1). A condição
x^2 - y^2 >= 1
significa que R é a união das regiões externas a esses dois ramos. No esboço, desenhe a hipérbole e sombree as partes “para fora” de cada ramo.

Passo 3

Considere f(x,y)=x^2-y^2. Como f é contínua e
R=f^-1l([1,infty)r),
segue que R é pré-imagem de um conjunto fechado, logo R é fechado. Como a desigualdade é inclusiva ( >=), R não é aberto.

Passo 4

A fronteira de R é justamente o lugar onde a desigualdade vira igualdade, ou seja,
partial R = (x,y)inR^2 mid x^2 - y^2 = 1

Passo 5

Para verificar se R é limitado, note que para lvert yrverttoinfty exige-se lvert xrvert>=raiz1+y^2toinfty, portanto R não é limitado e, em consequência, não é compacto. Quanto à conectividade, R se separa em dois ramos disjuntos ( x>=raiz1+y^2 e x<= -raiz1+y^2), logo não é conexo.

Resposta

A fronteira é (x,y)mid x^2 - y^2 = 1.
A região R é fechada (F), não é aberta (A), não é limitada (L), não é compacta (K) e não é conexa (C).

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