Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
1.1A
1.1A
Passo 1
O enunciado define a região
.
Precisamos esboçar essa região no plano, determinar sua fronteira e classificar se é aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e/ou conexo (C). O conteúdo envolve geometria de conjuntos em
e pré-imagens de funções contínuas.
Precisamos esboçar essa região no plano, determinar sua fronteira e classificar se
Passo 2
A curva limite de
é a hipérbole
que possui dois ramos, um à direita (
) e outro à esquerda (
). A condição
significa que
é a união das regiões externas a esses dois ramos. No esboço, desenhe a hipérbole e sombree as partes “para fora” de cada ramo.
Passo 3
Considere
. Como
é contínua e
segue que
é pré-imagem de um conjunto fechado, logo
é fechado. Como a desigualdade é inclusiva (
),
não é aberto.
Passo 4
A fronteira de
é justamente o lugar onde a desigualdade vira igualdade, ou seja,
Passo 5
Para verificar se
é limitado, note que para
exige-se
, portanto
não é limitado e, em consequência, não é compacto. Quanto à conectividade,
se separa em dois ramos disjuntos (
e
), logo não é conexo.
Resposta
A fronteira é
.
A região é fechada (F), não é aberta (A), não é limitada (L), não é compacta (K) e não é conexa (C).
A região