Q 123 Mostre que:
Se f(x)=sen(x), então f^(n)(x)=rlcos (x), & n=1+4 k -sen(x), & n=2+4 k -cos (x), & n=3+4 k sen(x), & n=4 k, k in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
a
O conteúdo principal é a ideia de que as derivadas de repetem-se a cada quatro diferenciações, e usaremos identificação de padrão seguida de indução matemática para formalizar a prova.

Passo 2

Vamos calcular explicitamente as primeiras quatro derivadas de f(x)=sin(x):
f'(x)=cos(x),
f''(x)=l(cos(x)r)'=-sin(x),
f'''(x)=l(-sin(x)r)'=-cos(x),
f^(4)(x)=l(-cos(x)r)'=sin(x)
Aqui já vemos que f^(4)(x)=f(x), ou seja, o processo se fecha a cada quatro derivadas.

Passo 3

A partir desses quatro casos, percebemos que, para um n genérico, a derivada f^(n)(x) depende apenas de nmod4. Mais precisamente:
  • Se nequiv0pmod4, então f^(n)(x)=sin(x).
  • Se nequiv1pmod4, então f^(n)(x)=cos(x).
  • Se nequiv2pmod4, então f^(n)(x)=-sin(x).
  • Se nequiv3pmod4, então f^(n)(x)=-cos(x).

Passo 4

Prova por indução em [n):
Base ( ): temos , que coincide com o caso para .
Passo indutivo: suponha que o resultado valha para um arbitrário, isto é,
Então
Basta verificar derivando cada um dos quatro casos e confirmar que cada derivada “desloca” o índice de ou seja preservado e repita-se a cada 4. Isso conclui a indução.

Resposta

f^(n)(x)= cos(x), & n=1+4k, -sin(x), & n=2+4k, -cos(x), & n=3+4k, sin(x), & n=4k, kinN

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