O enunciado pede para mostrarmos que, para a função
a
O conteúdo principal é a ideia de que as derivadas de repetem-se a cada quatro diferenciações, e usaremos identificação de padrão seguida de indução matemática para formalizar a prova.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente as primeiras quatro derivadas de f(x)=sin(x):
f'(x)=cos(x),
f''(x)=l(cos(x)r)'=-sin(x),
f'''(x)=l(-sin(x)r)'=-cos(x),
f^(4)(x)=l(-cos(x)r)'=sin(x)
Aqui já vemos que f^(4)(x)=f(x), ou seja, o processo se fecha a cada quatro derivadas.
Passo 3
A partir desses quatro casos, percebemos que, para um n genérico, a derivada f^(n)(x) depende apenas de nmod4. Mais precisamente:
Se nequiv0pmod4, então f^(n)(x)=sin(x).
Se nequiv1pmod4, então f^(n)(x)=cos(x).
Se nequiv2pmod4, então f^(n)(x)=-sin(x).
Se nequiv3pmod4, então f^(n)(x)=-cos(x).
Passo 4
Prova por indução em [n):
Base (): temos , que coincide com o caso para .
Passo indutivo: suponha que o resultado valha para um arbitrário, isto é,
Então
Basta verificar derivando cada um dos quatro casos e confirmar que cada derivada “desloca” o índice de ou seja preservado e repita-se a cada 4. Isso conclui a indução.