Q 123 Mostre que:
Se f(x)=ln (a x+b), então f^(n)(x)=(-1)^n+1 cdot a^n cdot(n-1)!(a x+b)^n, forall n in N;

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=ln(ax+b) e pede para mostrar que
f^(n)(x)=(-1)^n+1a^n,(n-1)!(ax+b)^n, forall ninN
O conteúdo principal envolve derivadas de ordem superior de uma função composta e o uso do princípio de indução.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas para identificar um padrão.
f'(x)=ddxln(ax+b)=aax+b=a,(ax+b)^-1,
f''(x)=ddxl[a,(ax+b)^-1r] =-a^2,(ax+b)^-2,
f'''(x)=ddxl[-a^2,(ax+b)^-2r] =2,a^3,(ax+b)^-3
Comparando com a fórmula proposta:
f'(x)=(-1)^2a^1cdot0!(ax+b)^1, f''(x)=(-1)^3a^2cdot1!(ax+b)^2, f'''(x)=(-1)^4a^3cdot2!(ax+b)^3,
vemos que bate certinho.

Passo 3

Fazemos agora o passo de indução. Suponha que para algum n>=1 valha
f^(n)(x)=(-1)^n+1a^n,(n-1)!(ax+b)^n
Então
f^(n+1)(x) =ddxl[(-1)^n+1a^n(n-1)!,(ax+b)^-nr]
=(-1)^n+1a^n(n-1)!;l(-n,ar),(ax+b)^-n-1
=(-1)^n+2a^,n+1,n!(ax+b)^,n+1 =(-1)^(n+1)+1a^,n+1(n+1-1)!(ax+b)^,n+1,
que é exatamente a fórmula para n+1.

Passo 4

Pelo princípio da indução, concluímos que
f^(n)(x)=(-1)^n+1a^n,(n-1)!(ax+b)^n
vale para todo ninN.

Resposta

f^(n)(x)=(-1)^n+1a^n,(n-1)!(ax+b)^n, forall ninN

Exercícios relacionados