Exercício 8 (D.L.4.14)
Dizemos que a trajetória t mapsto x(t) por x(0)=x0, ou então, o ponto x0 é positivamente recorrente ou estável segundo Poisson se não é singular e, para alguma sequência tn +infty, vale que x(tn) x0. Prove que um campo de vetores gradiente não possui trajetórias positivamente recorrentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que numa dinâmica gerada por um campo de vetores gradiente não há pontos x0 não singulares cuja trajetória retorne arbitrariamente perto de si mesma. Vamos usar como ferramenta o fato de que, ao longo de uma solução de
dot x=nabla f(x), a função f varia monotonicamente.

Passo 2

Seja x(t) a solução de
dot x=nabla f(x),, x(0)=x0,
com nabla f(x0)neq 0. Então
ddtf(x(t)) = nabla f(x(t))cdot dot x(t) = nabla f(x(t))cdot nabla f(x(t)) = |nabla f(x(t))|^2
Como nabla f(x(t))neq 0 para todo t, segue que |nabla f(x(t))|^2>0 e, portanto, f(x(t)) é estritamente crescente em t.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que x(t) seja positivamente recorrente. Então existe uma sequência tnto+infty tal que x(tn)to x0. Pela continuidade de f teríamos
fl(x(tn)r);longrightarrow;f(x0)
Porém, como tn>0 e f(x(t)) cresce estritamente, vale
fl(x(tn)r)>f(x0) forall n,
impedindo que f(x(tn)) tenda a f(x0). Isso é uma contradição.

Resposta

Não existem trajetórias positivamente recorrentes em um campo de vetores gradiente.

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