Exercício 8 (D.L.4.14)
Dizemos que a trajetória
por
, ou então, o ponto
é positivamente recorrente ou estável segundo Poisson se não é singular e, para alguma sequência
, vale que
. Prove que um campo de vetores gradiente não possui trajetórias positivamente recorrentes.
Dizemos que a trajetória
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que numa dinâmica gerada por um campo de vetores gradiente não há pontos
não singulares cuja trajetória retorne arbitrariamente perto de si mesma. Vamos usar como ferramenta o fato de que, ao longo de uma solução de
, a função
varia monotonicamente.
Passo 2
Seja
a solução de
com
. Então
Como
para todo
, segue que
e, portanto,
é estritamente crescente em
.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
seja positivamente recorrente. Então existe uma sequência
tal que
. Pela continuidade de
teríamos
Porém, como
e
cresce estritamente, vale
impedindo que
tenda a
. Isso é uma contradição.
Resposta
Não existem trajetórias positivamente recorrentes em um campo de vetores gradiente.