Q 124 A partir de que ordem a derivada de um polinômio de grau n será indenticamente nula?

Passo 1

O enunciado pergunta: dado um polinômio de grau n, a partir de que ordem de derivada ele se torna identicamente nulo? Vamos usar a propriedade de que cada derivada diminui o grau do polinômio em uma unidade.

Passo 2

Seja um polinômio genérico de grau n:
f(x)=sumi=0^nai,x^i, anneq0
A derivada de ordem k desse polinômio é
f^(k)(x) =sumi=k^nai;i!(i-k)!;x^,i-k
Note que só aparecem termos com i>= k.

Passo 3

Quando k=n+1, o somatório fica de i=n+1 até n, ou seja, índice vazio, resultando em
f^(n+1)(x)=0
para todo x. E para qualquer k>n a mesma lógica vale, pois a soma continua vazia.

Resposta

A derivada de ordem n+1 (e todas as superiores) é identicamente nula.

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