12.Para qual valor positivo de c ,a equação ln x=c x^4 tem apenas umá solução?
(8) 14 e
(A) 1e
(C) e^44
(D) 4e^1 / 4
(E) 4 e^1 / 4

Passo 1

O enunciado pede o valor positivo de c tal que a equação
ln x = c,x^4
tenha exatamente uma solução em x>0. Vamos reescrever tudo em função de um único lado e estudar o comportamento da função resultante para descobrir quando há tangência (uma única interseção).

Passo 2

Colocando tudo em um só lado, obtemos
ln x - c,x^4=0 Long<=ftrightarrow ln xx^4 = c
Definimos
f(x) = ln xx^4, x>0
Para um dado c, as soluções correspondem às interseções da reta y=c com o gráfico de f. Se c<max f, há duas interseções; se c>max f, não há interseções; e se c=max f, há exatamente uma interseção (tangência).

Passo 3

Para achar o máximo de f, calculamos a derivada. Escrevendo
f(x) = x^-4ln x,
temos
f'(x) = ddxl(x^-4r),ln x + x^-4,ddx(ln x) = (-4x^-5)ln x + x^-4cdot1x = x^-5(1 - 4ln x)
O ponto crítico satisfaz f'(x)=0, logo
1 - 4ln x = 0 Longrightarrow ln x = tfrac14 Longrightarrow x = e^1/4

Passo 4

O valor máximo de f ocorre em x=e^1/4. Assim,
fl(e^1/4r) = ln(e^1/4)(e^1/4)^4 = tfrac14e = 14e
Portanto, para c=14e a reta y=c é tangente ao gráfico de f, produzindo exatamente uma solução de ln x = c,x^4.

Resposta

c = dfrac14e.

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