12.Para qual valor positivo de
,a equação
tem apenas umá solução?
(8)
(A)
(C)
(D)
(E)
(8)
(A)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede o valor positivo de
tal que a equação
tenha exatamente uma solução em
. Vamos reescrever tudo em função de um único lado e estudar o comportamento da função resultante para descobrir quando há tangência (uma única interseção).
Passo 2
Colocando tudo em um só lado, obtemos
Definimos
Para um dado
, as soluções correspondem às interseções da reta
com o gráfico de
. Se
, há duas interseções; se
, não há interseções; e se
, há exatamente uma interseção (tangência).
Passo 3
Para achar o máximo de
, calculamos a derivada. Escrevendo
temos
O ponto crítico satisfaz
, logo
Passo 4
O valor máximo de
ocorre em
. Assim,
Portanto, para
a reta
é tangente ao gráfico de
, produzindo exatamente uma solução de
.