(RA1 e RA2) Calcule as integrais indefinidas indicadas e, em seguida, verifique se as soluções encontradas estão corretas, utilizando a derivada para conferir os resultados.
integral x^2+3 x-4x^2-2 x-8 d x
Verificação:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2+3x-4x^2-2x-8,dx
Observamos que o numerador e o denominador têm o mesmo grau, então vamos usar divisão de polinômios seguida de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão polinomial de x^2+3x-4x^2-2x-8. Como os graus são iguais, o quociente é 1 e o resto é
(x^2+3x-4) - (x^2-2x-8) = 5x+4
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x^2+3x-4x^2-2x-8 = 1 + 5x+4x^2-2x-8

Passo 3

Fatoramos o denominador:
Multiplicando em cruz:
Comparando coeficientes:
Da segunda equação e .

Passo 4

Substituindo na integral:
integral x^2+3x-4x^2-2x-8,dx = integral l(1 + 4x-4 + 1x+2r)dx = integral 1,dx + 4integral dxx-4 + integral dxx+2
Integramos cada parte:
integral 1,dx = x, 4integral dxx-4 = 4lnl|x-4r|, integral dxx+2 = lnl|x+2r|
Portanto, uma primitiva é
F(x) = x + 4lnl|x-4r| + lnl|x+2r| + C

Passo 5

Verificação por derivada:
F'(x) = 1 + 4x-4 + 1x+2 = 1 + 4(x+2) + (x-4)(x-4)(x+2) = 1 + 5x+4x^2-2x-8 = x^2-2x-8 +5x+4x^2-2x-8 = x^2+3x-4x^2-2x-8,
que é exatamente o integrando.

Resposta

boxed,x + 4lnl|x-4r| + lnl|x+2r| + C,

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