(RA1 e RA2) Calcule as integrais indefinidas indicadas e, em seguida, verifique se as soluções encontradas estão corretas, utilizando a derivada para conferir os resultados.
integral sen^3(2 x) d x Verificação

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral sin^3(2x),dx
e, em seguida, verificar a resposta por derivação. O conteúdo envolve integração de potências de funções trigonométricas, que faremos usando redução de potência via substituição, e depois conferiremos que a derivada do resultado é realmente sin^3(2x).

Passo 2

Usamos a identidade
sin^3(2x)=sin(2x)l(1-cos^2(2x)r),
pois isso nos permite separar um fator sin(2x) que acompanhará a diferencial da substituição.

Passo 3

Fazemos a substituição
u=cos(2x) então du=-2sin(2x),dx Longrightarrow sin(2x),dx=-tfrac12,du ã
Assim a integral vira
integral sin(2x)l(1-u^2r),dx =-tfrac12integral (1-u^2),du

Passo 4

Integramos em u:
-tfrac12integral (1-u^2),du =-tfrac12l(u-tfracu^33r)+C =-tfracu2+tfracu^36+C

Passo 5

Voltando a x com u=cos(2x), obtemos
F(x)=-cos(2x)2+cos^3(2x)6+C

Passo 6

Agora verificamos por derivação:
diferenciando term a term,
ddx!l(-tfraccos(2x)2r) =-tfrac12l(-sin(2x)cdot2r) =sin(2x)1cdottfrac11cdottfrac11 =sin(2x)1cdot1 =sin(2x)1 =sin(2x),
ddx!l(tfraccos^3(2x)6r) =tfrac16cdot3cos^2(2x)l(-sin(2x)cdot2r) =-tfrac6cos^2(2x)sin(2x)6 =-cos^2(2x)sin(2x)
Somando,
F'(x)=sin(2x)-cos^2(2x)sin(2x) =sin(2x)l(1-cos^2(2x)r) =sin^3(2x),
como queríamos.

Resposta

integral sin^3(2x),dx =-cos(2x)2+cos^3(2x)6+C

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