(RA1 e RA2) Calcule as integrais indefinidas indicadas e, em seguida, verifique se as soluções encontradas estão corretas, utilizando a derivada para conferir os resultados.
integral 3 x+1(x+2)(x^2+1) d x
Verificação:

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral indefinida
integral 3x+1(x+2)(x^2+1),dx
usando frações parciais e, depois, verificar o resultado pela derivada. Os tópicos envolvidos são decomposição em frações parciais de funções racionais e regras básicas de integração, além da verificação por diferenciação.

Passo 2

Decompondo
3x+1(x+2)(x^2+1) = Ax+2 + Bx + Cx^2+1,
multiplicamos ambos os lados por (x+2)(x^2+1) e obtemos a identidade
3x+1 = A(x^2+1) + (Bx+C)(x+2)
Expandindo e igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, chega-se ao sistema
A + B = 0, 2B + C = 3, A + 2C = 1
Resolvendo, encontra-se
A = -1, B = 1, C = 1

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 3x+1(x+2)(x^2+1),dx = integrall(-1x+2 + x+1x^2+1r),dx
Agora integramos cada termo separadamente:
integral -1x+2,dx = -ln|x+2|, integral xx^2+1,dx = 12ln(x^2+1), integral 1x^2+1,dx = arctan x

Passo 4

Juntando tudo, uma primitiva geral é
-ln|x+2| + 12ln(x^2+1) + arctan x + C

Passo 5

Verificação: seja
F(x) = -ln|x+2| + 12ln(x^2+1) + arctan x
Então
F'(x) = -1x+2 + xx^2+1 + 1x^2+1 = -1x+2 + x+1x^2+1 = -(x^2+1)+(x+1)(x+2)(x+2)(x^2+1) = 3x+1(x+2)(x^2+1),
que é exatamente o integrando original. Portanto, a solução está conferida.

Resposta

-ln|x+2| + 12ln(x^2+1) + arctan x + C

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