12.Partindo da equação de uma onda progressiva,obtenha uma expressảo ligando as derivadas parciais de segunda ordem: partial^2 y / partial x^2 e partial^2 y / partial r^2

Passo 1

O enunciado pede para partir da equação de uma onda progressiva e, aplicando cálculo de derivadas parciais, encontrar a relação entre partial^2y/partial x^2 e partial^2y/partial r^2. Vamos considerar a forma geral
y(x,r)=fl(x - v,rr)
e usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Definimos o argumento da função como
z = x - v,r
Assim
y(x,r)=f(z),
com
partial z/partial x=1 e partial z/partial r=-v.

Passo 3

Calculamos partial y/partial x pela regra da cadeia:
partial ypartial x = f'(z),partial zpartial x = f'(z)
Derivando novamente em x:
partial^2 ypartial x^2 = partialpartial xl(f'(z)r) = f''(z),partial zpartial x = f''(z)

Passo 4

Agora partial y/partial r:
partial ypartial r = f'(z),partial zpartial r = -v,f'(z)
E em seguida
partial^2 ypartial r^2 = partialpartial rl(-v,f'(z)r) = -v,f''(z),partial zpartial r = -v,f''(z),(-v) = v^2,f''(z)

Passo 5

Como
partial^2 y/partial x^2 = f''(z)
e
partial^2 y/partial r^2 = v^2,f''(z),
temos imediatamente
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2,partial^2 ypartial r^2

Resposta

partial^2 ypartial x^2 = 1v^2,partial^2 ypartial r^2

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