Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Isso é um caso de integral imprópria do tipo I (intervalo não limitado). Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais para integrar e depois tomar o limite quando o limite superior tende a
.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Procuramos constantes
e
tais que
isto é,
Comparando coeficientes em
e termo constante:
Daí
e
. Logo
Passo 3
Integramos term a term e introduzimos um limite
para o infinito:
Passo 4
Calculamos o valor entre os limites e depois fazemos
:
Como
, e
quando
temos
. Logo o limite é