Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{2}^{\infty} \frac{2}{x^{2}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{2}{x^{2}-x}\,dx.
Isso é um caso de integral imprópria do tipo I (intervalo não limitado). Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais para integrar e depois tomar o limite quando o limite superior tende a \infty.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de
\frac{2}{x^{2}-x}=\frac{2}{x(x-1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1},
isto é,
2 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A.
Comparando coeficientes em x e termo constante:
A + B = 0, \quad -\,A = 2.
Daí A = -2 e B = 2. Logo
\frac{2}{x^{2}-x} = -\frac{2}{x} + \frac{2}{x-1}.

Passo 3

Integramos term a term e introduzimos um limite R para o infinito:
\int_{2}^{R}\frac{2}{x^{2}-x}\,dx = \int_{2}^{R}\Bigl(-\frac{2}{x}+\frac{2}{x-1}\Bigr)\,dx = \Bigl[-2\ln|x| + 2\ln|x-1|\Bigr]_{2}^{R}.

Passo 4

Calculamos o valor entre os limites e depois fazemos R\to\infty:
\Bigl[-2\ln R + 2\ln(R-1)\Bigr] - \Bigl[-2\ln2 + 2\ln1\Bigr] = -2\ln R + 2\ln(R-1) + 2\ln2.
Como \ln1=0, e
-2\ln R + 2\ln(R-1) = 2\ln\!\bigl(\tfrac{R-1}{R}\bigr) = 2\ln\!\bigl(1-\tfrac1R\bigr),
quando R\to\infty temos \ln(1-\tfrac1R)\to0. Logo o limite é
0 + 2\ln2 = 2\ln2.

Resposta

\displaystyle 2\ln2

Exercícios relacionados