Mostre que a serie termina se existir um intero
tal que
Isso implica
quando
é inteiro não negativo.
Neste caso as soluções são pilinômios. Existe um polômio para cada
Vamos denotar por
o polinômio de oredem
Considere agora
.
Calcule
em termos de
.
Mostre que
Neste caso as soluções são pilinômios. Existe um polômio para cada
Calcule
Mostre que
Passo 1
O que o problema pede e os dados que vamos usar.
- Pede, no caso
, calcular em termos de e mostrar que . - Vou usar a solução em série de potências da equação de Legendre (isso é o contexto implícito das fórmulas que você citou). Começamos supondo uma solução em série
com coeficientes
a determinar.
- A relação que conecta coeficientes é (vamos prová-la a seguir)
É essa relação que permite concluir que, se existir um inteiro
tal que
, então a série termina (os coeficientes seguintes ficam nulos) — e, para
inteiro não-negativo, essa equação tem solução
.
Passo 2
Derivação didática da relação de recorrência (passo a passo, sem pular etapas).
- Começo pela equação diferencial de Legendre (forma padrão):
- Substituo
e calculo derivadas termo a termo:
(na segunda forma fiz shift de índice para que todas as somas fiquem em potências
.)
Passo 3
Substituo as séries na equação e reorganizo para igualar coeficientes de
.
- Primeiro termo:
Usando as séries:
(obs.: na expressão de
os termos
são zero, por isso podemos escrever a soma desde
). Portanto
- Segundo termo:
pois ao deslocar índice obtemos uma soma começando em
, que é equivalente a escrever desde
porque o termo
é zero.
- Terceiro termo:
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 4
Simplificação do coeficiente de
e obtenção da recorrência.
- Combine os termos envolvendo
:
- Assim dentro da soma fica
- Isolando
,
ou seja, a recorrência desejada:
Comentário didático: essa relação liga coeficientes de mesma paridade (a cada passo soma-se 2 ao índice). Assim a série separa-se em duas séries (uma com índices pares partindo de
e outra com índices ímpares partindo de
). Se para algum inteiro
o numerador for zero, o coeficiente
anula-se e isso faz com que todos os coeficientes subsequentes da mesma paridade sejam zero — a série nessa paridade termina, produzindo um polinômio quando ambos os ramos terminam ou o ramo relevante termina.
Passo 5
Aplicação para
: cálculo de
em termos de
.
- Use a recorrência com
:
- Substituindo
(logo ):
Portanto
.
Passo 6
Mostre que
para
.
- Use a recorrência com
:
- Substituindo
:
Assim
. (Isso corresponde ao fato já mencionado: existe um inteiro
tal que
; aqui com
esse inteiro é
, anulando o numerador e fazendo a série terminar na parte dos índices pares.)