Mostre que a serie termina se existir um intero n tal que
n(n+1)-\ell(\ell+1)=0
Isso implica
n=\ell .
quando \ell é inteiro não negativo.
Neste caso as soluções são pilinômios. Existe um polômio para cada
\ell=0,1,2, \ldots
Vamos denotar por P_{\ell}(x) o polinômio de oredem \ell
Considere agora \ell=2.
Calcule a_{2} em termos de a_{0}.
Mostre que
a_{4}=0 .

Passo 1

O que o problema pede e os dados que vamos usar.
  • Pede, no caso \ell=2, calcular a_2 em termos de a_0 e mostrar que a_4=0.
  • Vou usar a solução em série de potências da equação de Legendre (isso é o contexto implícito das fórmulas que você citou). Começamos supondo uma solução em série
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
com coeficientes a_n a determinar.
  • A relação que conecta coeficientes é (vamos prová-la a seguir)
a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\ell(\ell+1)}{(n+2)(n+1)}\,a_n.
É essa relação que permite concluir que, se existir um inteiro n tal que n(n+1)-\ell(\ell+1)=0, então a série termina (os coeficientes seguintes ficam nulos) — e, para \ell inteiro não-negativo, essa equação tem solução n=\ell.

Passo 2

Derivação didática da relação de recorrência (passo a passo, sem pular etapas).
  • Começo pela equação diferencial de Legendre (forma padrão):
(1-x^2)y''-2x y' + \ell(\ell+1) y = 0.
  • Substituo y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n e calculo derivadas termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n,
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n.
(na segunda forma fiz shift de índice para que todas as somas fiquem em potências x^n.)

Passo 3

Substituo as séries na equação e reorganizo para igualar coeficientes de x^n.
  • Primeiro termo:
(1-x^2)y''=y''-x^2 y''.
Usando as séries:
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^n,
x^2 y''=\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)a_n x^n
(obs.: na expressão de x^2y'' os termos n=0,1 são zero, por isso podemos escrever a soma desde n=0). Portanto
(1-x^2)y''=\sum_{n=0}^{\infty}\big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n\big]x^n.
  • Segundo termo:
-2x y'=-2\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^n,
pois ao deslocar índice obtemos uma soma começando em n=1, que é equivalente a escrever desde n=0 porque o termo n=0 é zero.
  • Terceiro termo:
\ell(\ell+1)y=\sum_{n=0}^{\infty}\ell(\ell+1)a_n x^n.
Somando tudo e igualando a zero:
\sum_{n=0}^{\infty}\Big[(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n -2n a_n +\ell(\ell+1)a_n\Big]x^n=0.

Passo 4

Simplificação do coeficiente de a_n e obtenção da recorrência.
  • Combine os termos envolvendo a_n:
-n(n-1)-2n = -n^2 - n = -n(n+1).
  • Assim dentro da soma fica
(n+2)(n+1)a_{n+2} +\big[\ell(\ell+1)-n(n+1)\big]a_n = 0.
  • Isolando a_{n+2},
(n+2)(n+1)a_{n+2} = \big[n(n+1)-\ell(\ell+1)\big]a_n,
ou seja, a recorrência desejada:
\boxed{\,a_{n+2}=\frac{n(n+1)-\ell(\ell+1)}{(n+2)(n+1)}\,a_n\,.}
Comentário didático: essa relação liga coeficientes de mesma paridade (a cada passo soma-se 2 ao índice). Assim a série separa-se em duas séries (uma com índices pares partindo de a_0 e outra com índices ímpares partindo de a_1). Se para algum inteiro n o numerador for zero, o coeficiente a_{n+2} anula-se e isso faz com que todos os coeficientes subsequentes da mesma paridade sejam zero — a série nessa paridade termina, produzindo um polinômio quando ambos os ramos terminam ou o ramo relevante termina.

Passo 5

Aplicação para \ell=2: cálculo de a_2 em termos de a_0.
  • Use a recorrência com n=0:
a_{2}=\frac{0\cdot 1 - \ell(\ell+1)}{2\cdot 1}\,a_0.
  • Substituindo \ell=2 (logo \ell(\ell+1)=2\cdot 3=6):
a_{2}=\frac{0-6}{2}a_0=-\frac{6}{2}a_0=-3a_0.
Portanto a_2=-3a_0.

Passo 6

Mostre que a_4=0 para \ell=2.
  • Use a recorrência com n=2:
a_{4}=\frac{2\cdot 3 - \ell(\ell+1)}{4\cdot 3}\,a_2.
  • Substituindo \ell(\ell+1)=6:
a_{4}=\frac{6-6}{12}\,a_2=\frac{0}{12}\,a_2=0.
Assim a_4=0. (Isso corresponde ao fato já mencionado: existe um inteiro n tal que n(n+1)-\ell(\ell+1)=0; aqui com \ell=2 esse inteiro é n=2, anulando o numerador e fazendo a série terminar na parte dos índices pares.)

Resposta

a_2=-3a_0
a_4=0

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