[13.2] Calcule a integral.
integral(cos (pi t) i+sen(pi t) j+t k) d t

Passo 1

Temos a integral vetorial integrall(cos(pi t)i+sin(pi t)j+tkr),dt. O conteúdo é integração de função vetorial componente a componente: basta integrar cada coordenada separadamente.

Passo 2

Para a componente i precisamos calcular integralcos(pi t),dt. Usamos a substituição u=pi t, logo du=pi,dt e dt=du/pi. Assim,
integralcos(pi t),dt=integralcos(u)dupi=1piintegralcos(u),du=1pisin(u)+C1=1pisin(pi t)+C1

Passo 3

Para a componente j calculamos integralsin(pi t),dt de forma análoga. Com a mesma mudança u=pi t,
integralsin(pi t),dt=1piintegralsin(u),du=-1picos(u)+C2=-1picos(pi t)+C2

Passo 4

Para a componente k basta usar a regra de potência:
integral t,dt=t^22+C3

Passo 5

Juntando todas as componentes e agrupando as constantes de integração em um vetor C=C1i+C2j+C3k, obtemos a primitiva vetorial completa.

Resposta

F(t)=1pisin(pi t),i-1picos(pi t),j+t^22,k+C

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