[13.2] Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.
r(t)=lang<= t^2+2 t, 1+3 t, 13 t^3+12 t^2rang<=, t=2

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) para a curva r(t)=lang<= t^2+2t,,1+3t,tfrac13t^3+tfrac12t^2rang<= no ponto onde t=2. Vamos usar derivada vetorial para achar r'(t) e depois normalizar.

Passo 2

Calcular a derivada de cada componente para obter r'(t):
r'(t)=llang<=ddt(t^2+2t),,ddt(1+3t),,ddtl(tfrac13t^3+tfrac12t^2r)rrang<==lang<=2t+2,,3,,t^2+trang<=

Passo 3

Avaliar a derivada em t=2:
r'(2)=lang<=2cdot2+2,,3,,2^2+2rang<==lang<=6,,3,,6rang<=

Passo 4

Calcular o módulo de r'(2):
l|r'(2)r|=raiz6^2+3^2+6^2=raiz36+9+36=raiz81=9

Passo 5

Obter o vetor tangente unitário dividindo r'(2) pelo seu módulo:
T(2)=19lang<=6,,3,,6rang<==lang<=tfrac23,,tfrac13,,tfrac23rang<=

Resposta

T(2)=lang<=tfrac23,,tfrac13,,tfrac23rang<=

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