[13.3] Utilize o Teorema 10 para encontrar a curvatura. ( kappa(t)=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3)
r(t)=raiz6 t^2 i+2 t j+2 t^3 k

Passo 1

O exercício pede pra calcular a curvatura de uma curva paramétrica usando o Teorema 10, isto é, kappa(t)=dfrac|r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3. Vamos precisar derivar r(t), calcular o produto vetorial entre r'(t) e r''(t), e as normas desses vetores.

Passo 2

Primeiro derivamos r(t)=raiz6,t^2,i+2t,j+2t^3,k.
Calculando a primeira derivada:
r'(t)=l(2raiz6,t,;2,;6t^2r)
E a segunda derivada:
r'(t)=l(2raiz6,;0,;12tr)

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial r'(t)timesr''(t):
r'timesr''= i&j&k 2raiz6,t&2&6t^2 2raiz6&0&12t =l(24t,;-12raiz6,t^2,;-4raiz6r)
A magnitude desse vetor é
$$|\mathbf{r}’\times\mathbf{r}’’|=\sqrt{(24t)^2+( -12\sqrt6,t2)2+( -4\sqrt6)^2}
=4\sqrt6,(3t^2+1)$$

Passo 4

Em seguida, calculamos |r'(t)|:
$$|\mathbf{r}’|=\sqrt{(2\sqrt6,t)2+22+(6t2)2}
=2,(3t^2+1) |r'|=raiz(2raiz6,t)^2+2^2+(6t^2)^2 =2,(3t^2+1)|\mathbf{r}’|3=8,(3t2+1)^3$$

Passo 5

Finalmente aplicamos a fórmula da curvatura:
kappa(t)=4raiz6,(3t^2+1)8,(3t^2+1)^3=raiz62,(3t^2+1)^2

Resposta

kappa(t)=dfracraiz62,(3t^2+1)^2

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