13-22 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
x^2=4 y^2+z^2

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a superfície definida por x^2=4y^2+z^2. O objetivo é usar cortes (seções por planos) para esboçar e identificar do que se trata. O conteúdo envolvido é o de superfícies quádricas e classificação por sinais dos coeficientes.

Passo 2

Reescrevendo em forma canônica: movendo tudo para um lado, obtemos
x^2-4y^2-z^2=0
Essa é a forma de um cone duplo, pois os coeficientes de y^2 e z^2 são negativos e o de x^2 é positivo.

Passo 3

Corte por x=k: substituindo x=k na equação,
4y^2+z^2=k^2
Vemos uma elipse de semieixos |k|/2 na direção y e |k| na direção z. À medida que |k| cresce, a elipse se expande.

Passo 4

Corte por y=k: substituindo y=k,
x^2-z^2=4k^2
Essa é uma hipérbole no plano xz. Para cada k, as interseções são duas curvas hiperbólicas.

Passo 5

Corte por z=k: substituindo z=k,
x^2-4y^2=k^2
Também aqui aparece uma hipérbole, agora no plano xy.

Passo 6

Conclusão e esboço: A superfície é simétrica em relação à origem e aos planos coordenados. Pelos cortes, vemos que ela consiste de duas “campânulas” (duas folhas) abertas ao longo do eixo x, com seções elípticas em planos x=constante. Isso caracteriza um cone duplo de seção elíptica com eixo no eixo x.

Resposta

Cone duplo de seção elíptica com eixo ao longo do eixo x.

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