13-22 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a superfície definida por
. O objetivo é usar cortes (seções por planos) para esboçar e identificar do que se trata. O conteúdo envolvido é o de superfícies quádricas e classificação por sinais dos coeficientes.
Passo 2
Reescrevendo em forma canônica: movendo tudo para um lado, obtemos
Essa é a forma de um cone duplo, pois os coeficientes de
e
são negativos e o de
é positivo.
Passo 3
Corte por
: substituindo
na equação,
Vemos uma elipse de semieixos
na direção
e
na direção
. À medida que
cresce, a elipse se expande.
Passo 4
Corte por
: substituindo
,
Essa é uma hipérbole no plano
. Para cada
, as interseções são duas curvas hiperbólicas.
Passo 5
Corte por
: substituindo
,
Também aqui aparece uma hipérbole, agora no plano
.
Passo 6
Conclusão e esboço: A superfície é simétrica em relação à origem e aos planos coordenados. Pelos cortes, vemos que ela consiste de duas “campânulas” (duas folhas) abertas ao longo do eixo
, com seções elípticas em planos
. Isso caracteriza um cone duplo de seção elíptica com eixo no eixo
.
Resposta
Cone duplo de seção elíptica com eixo ao longo do eixo
.